本原元定理, 在数学中, 精确刻画了什么时候对于一个域扩张e, e可以表示为f, displaystyle, alpha, 的形式, 即e可以由单个元素生成, 目录, 定理, 证明, 推论, 参见, 参考文献定理, 编辑一个有限扩张e, f有本原元, 即存在α, displaystyle, alpha, nbsp, 使得e, displaystyle, alpha, nbsp, 当且仅当e和f之间只有有限个中间域, 证明, 编辑如果f, displaystyle, nbsp, 是有限域, 由于e, displays. 在数学中 本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E F E可以表示为F a displaystyle F alpha 的形式 即E可以由单个元素生成 目录 1 定理 2 证明 3 推论 4 参见 5 参考文献定理 编辑一个有限扩张E F有本原元 即存在a displaystyle alpha nbsp 使得E F a displaystyle E F alpha nbsp 当且仅当E和F之间只有有限个中间域 证明 编辑如果F displaystyle F nbsp 是有限域 由于E F displaystyle E F nbsp 是有限扩张 推得E displaystyle E nbsp 也是有限域 但是由于有限域的乘法群是循环群 任取这个乘法群的一个生成元 E displaystyle E nbsp 可以由这个生成元生成 所以在F displaystyle F nbsp 是有限域的情况下 定理左右两边恒为真 如果F displaystyle F nbsp 是无限域 但是只有有限个中间域 先证明一个引理 假设E F a b displaystyle E F alpha beta nbsp 并且E displaystyle E nbsp 和F displaystyle F nbsp 之间只有有限个中间域 那么存在一个g E displaystyle gamma in E nbsp 使得E F g displaystyle E F gamma nbsp 引理的证明如下 当c displaystyle c nbsp 取遍F displaystyle F nbsp 的时候 对于每一个c displaystyle c nbsp 可以做一个中间域F a cb displaystyle F alpha c beta nbsp 但是由假设 只有有限个中间域 因此必定存在c1 c2 F c1 c2 displaystyle c 1 c 2 in F c 1 neq c 2 nbsp 使得F a c1b F a c2b displaystyle F alpha c 1 beta F alpha c 2 beta nbsp 由于a c1b a c2b displaystyle alpha c 1 beta alpha c 2 beta nbsp 都在这个域里 推得 c1 c2 b displaystyle c 1 c 2 beta nbsp 也在这个域里 由于c1 c2 displaystyle c 1 neq c 2 nbsp 推得b displaystyle beta nbsp 在这个域里 于是a displaystyle alpha nbsp 也在这个域里 因此E F a b F a c1b F a b displaystyle E F alpha beta subseteq F alpha c 1 beta subseteq F alpha beta nbsp 于是E F a c1b displaystyle E F alpha c 1 beta nbsp 引理证毕 由于有限扩张总是有限生成的 推得E F a1 a2 an displaystyle E F alpha 1 alpha 2 alpha n nbsp 对于a1 a2 an E displaystyle alpha 1 alpha 2 alpha n in E nbsp 利用归纳法以及引理可以得出 如果E F displaystyle E F nbsp 之间只有有限个中间域 那么E displaystyle E nbsp 可以由单个元素生成 而如果E F a displaystyle E F alpha nbsp 假设f x irr a F x displaystyle f x irr alpha F x nbsp 是a displaystyle alpha nbsp 在F displaystyle F nbsp 上的极小多项式 K displaystyle K nbsp 是任意一个中间域 gK x irr a K x displaystyle g K x irr alpha K x nbsp 是a displaystyle alpha nbsp 在K displaystyle K nbsp 上的极小多项式 显然gK x f x displaystyle g K x f x nbsp 由于域上的多项式环是唯一分解环 f x displaystyle f x nbsp 只有有限个因子 而对于每一个gK x f x displaystyle g K x f x nbsp 如果gK x displaystyle g K x nbsp 写作gK x k 0ncixi displaystyle g K x sum k 0 n c i x i nbsp 并令K0 F c1 c2 cn displaystyle K 0 F c 1 c 2 c n nbsp 显然K0 displaystyle K 0 nbsp 是K displaystyle K nbsp 的一个子域 因此gK x displaystyle g K x nbsp 在K0 displaystyle K 0 nbsp 上依然是不可约的 而同时E F a K a K0 a displaystyle E F alpha K alpha K 0 alpha nbsp 因此可以得到 E K E K0 deg gK n displaystyle E K E K 0 deg g K n nbsp 这样立即推K0 K displaystyle K 0 K nbsp 于是任何一个中间域K displaystyle K nbsp 对应唯一的一个f x displaystyle f x nbsp 的因子gK displaystyle g K nbsp 于是中间域个数小于因子的个数 但因子个数是有限的 因此中间域个数有限 证毕 推论 编辑由于有限可分扩张只有有限个中间域 由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元参见 编辑可分扩张 有限扩张 极小多项式参考文献 编辑Serge Lang Algebra Springer Verlag 2002 ISBN 978 0 387 95385 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 本原元定理 amp oldid 48655368, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,