悬链线, catenary, 是一种常用曲线, 物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间, 因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線, 因此而得名, 不同的鐵鏈形式的, 蜘蛛絲形成多個, 近似的, 雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線, 但是1638年在伽利略的, sciences, 中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同, 在底端為最小, 愈高的地方愈大, 如此一來, 它所形成的形狀就不是拋物線, 隨後在1670年虎克根據力學推導出懸鏈線的數學特性, 1691年萊布尼茲, 惠更斯, 約翰, 白努利近一步. 悬链线 Catenary 是一种常用曲线 物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间 因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線 因此而得名 不同的悬链线鐵鏈形式的悬链线 蜘蛛絲形成多個 近似的 悬链线 雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線 但是1638年在伽利略的 Two New Sciences 中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同 在底端為最小 愈高的地方愈大 如此一來 它所形成的形狀就不是拋物線 隨後在1670年虎克根據力學推導出懸鏈線的數學特性 1691年萊布尼茲 惠更斯 約翰 白努利近一步推导出數學模型 它的公式为 y a cosh x a displaystyle y a cosh frac x a 或者简单地表示为y a e x a e x a 2 displaystyle y frac a left e frac x a e frac x a right 2 其中cosh是雙曲余弦函数 a displaystyle a 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数 x displaystyle x 軸為其準線 具体来说 a T 0 g l displaystyle a frac T 0 g lambda 其中g displaystyle g 是重力加速度 l displaystyle lambda 是线密度 假设绳子密度均匀 而T 0 displaystyle T 0 是绳子上每一点处张力的水平分量 它取决于绳子的悬挂方式 若绳子两端在同一水平面上 则下面的方程决定了a displaystyle a L a sinh d a displaystyle frac L a sinh frac d a 其中L是绳子总长的一半 d是端点距离的一半 目录 1 方程的推导 2 工程中的应用 3 參考資料 4 外部連結方程的推导 编辑表达式的证明如右图 设最低点A displaystyle A nbsp 处受水平向左的拉力H displaystyle H nbsp 右悬挂点处表示为C displaystyle C nbsp 点 在A C displaystyle AC nbsp 弧线区段任意取一段设为B displaystyle B nbsp 点 则A B displaystyle AB nbsp 受一个斜向上的拉力T displaystyle T nbsp 设T displaystyle T nbsp 和水平方向夹角为8 displaystyle theta nbsp 绳子的质量为m displaystyle m nbsp 受力分析有 T sin 8 m g displaystyle T sin theta mg nbsp T cos 8 H displaystyle T cos theta H nbsp tan 8 d y d x m g H displaystyle tan theta frac mathrm d y mathrm d x frac mg H nbsp m g r s displaystyle mg rho s nbsp 其中s displaystyle s nbsp 是右段A B displaystyle AB nbsp 绳子的长度 r displaystyle rho nbsp 是绳子线重量密度 tan 8 displaystyle tan theta nbsp 为切线方向 记a r H displaystyle a frac rho H nbsp 代入得微分方程d y d x a s displaystyle frac mathrm d y mathrm d x as nbsp 利用弧长公式d s 1 d y d x 2 d x displaystyle mathrm d s sqrt 1 dfrac mathrm d y mathrm d x 2 mathrm d x nbsp 所以s 1 d y d x 2 d x displaystyle s int sqrt 1 dfrac mathrm d y mathrm d x 2 mathrm d x nbsp 再把s displaystyle s nbsp 代入微分方程得d y d x a 1 d y d x 2 d x 1 displaystyle frac mathrm d y mathrm d x a int sqrt 1 frac mathrm d y mathrm d x 2 mathrm d x cdots cdots 1 nbsp 对于 1 displaystyle 1 nbsp 设p d y d x displaystyle p frac mathrm d y mathrm d x nbsp 微分处理得 p r H 1 p 2 2 displaystyle p frac rho H sqrt 1 p 2 cdots cdots 2 nbsp 其中p d p d x d 2 y d x 2 displaystyle p frac mathrm d p mathrm d x frac mathrm d 2 y mathrm d x 2 nbsp 对 2 分离常量求积分 d p 1 p 2 a d x displaystyle int frac dp sqrt 1 p 2 int adx nbsp 得l n p 1 p 2 a x C displaystyle ln p sqrt 1 p 2 ax C nbsp 即a r s i n h p a x C displaystyle mathrm arsinh p ax C nbsp 其中a r s i n h p displaystyle mathrm arsinh p nbsp 为反双曲函数 当x 0 displaystyle x 0 nbsp 时 d y d x p 0 displaystyle frac dy dx p 0 nbsp 带入得C 0 displaystyle C 0 nbsp 整理得a r s i n h p r x H displaystyle mathrm arsinh p frac rho x H nbsp 工程中的应用 编辑悬索桥 双曲拱桥 架空电缆都用到悬链线的原理 在工程中有一种应用 a displaystyle a nbsp 称作悬链系数 如果我们改变公式的写法 会给工程应用带来很大帮助 公式及图像如下 y a cosh x a 1 displaystyle y a left cosh frac x a 1 right nbsp 还有以下几个公式 可能也有用 L a sinh x a displaystyle L a sinh frac x a nbsp tan a sinh x a displaystyle tan alpha sinh frac x a nbsp F 0 a g displaystyle F 0 a gamma nbsp 其中L displaystyle L nbsp 是曲线中某点到0点的链索长度 a displaystyle alpha nbsp 是该点的正切角 F 0 displaystyle F 0 nbsp 是0点处的水平张力 g displaystyle gamma nbsp 是链索的单位重量 利用上述公式即能计算出任意点的张力 參考資料 编辑外部連結 编辑维基共享资源中相关的多媒体资源 悬链线英文维基文库中的 1911年版大英百科全書 條目 Catenary 取自 https zh wikipedia org w index php title 悬链线 amp oldid 77190859, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,