德鲁德模型

电传导的德鲁德模型在1900年^[1][2] 由保罗·德鲁德提出，以解释电子在物质（特别是金属）中的输运性质。这个模型是分子运动论的一个应用，假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理，很像一个彈珠台，其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。

德鲁德模型中的电子（蓝色）不断在较重的、静止的晶体离子中间（红色）徘徊。

德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},}$

以及电流密度${\displaystyle J}$与电场${\displaystyle E}$之间的线性关系：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

在这里，${\displaystyle t}$代表时间，${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$、${\displaystyle n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle \tau }$分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量、以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要，因为它用半定量的术语解释了为什么欧姆定律（电磁学中最普遍存在的一个关系）应该是正确的。^[3][4][5]

解释

直流电场

德鲁德模型最简单的分析，假设了电场${\displaystyle \mathbf {E} }$ 既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量${\displaystyle d\mathbf {p} }$ ，这平均每隔${\displaystyle \tau }$ 秒发生一次。^[3]

于是，在时间${\displaystyle t}$ 分离的电子自从它上一次碰撞将平均运动了${\displaystyle \tau }$ 秒，因此将积累了动量：

${\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$ 

在它上一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$ 

代入以下关系：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$ 

便得出上面提到的欧姆定律的表述：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$ 

时变分析

电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间${\displaystyle t=t_{0}+dt}$ ，电子的平均动量将为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),}$ 

由于平均来说，${\displaystyle (1-dt/\tau )}$ 个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。^[6]

经过一番计算，便得出以下的微分方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$ 

其中${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle }$ 表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }}$ 

于是，稳态解（${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0}$ ）为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,}$ 

像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$ 

于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为${\displaystyle \,\sigma _{0}}$ ：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$ 

德鲁德模型还可以预言在角频率为${\displaystyle \,\omega }$ 的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.}$ 

这里假设了

${\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});}$ 

${\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).}$ 

还存在另一种惯例，所有方程中的${\displaystyle \,i}$ 都用${\displaystyle \,-i}$ 来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间${\displaystyle \,\tau }$ 来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。

模型的准确性

这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。^[7]

参见

• 自由电子模型
• 阿诺·索末菲
• 经典和量子传导
• 电导率

参考文献

1. Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566. ^{[永久失效連結]}
2. Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369. ^{[永久失效連結]}
3. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
4. Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1965: 117–122. ISBN 978-0070049086. 
5. David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall. 1999: 289. ISBN 978-81-203-161-0 请检查|isbn=值 (帮助). 
6. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 11. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
7. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 23. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助)