廣義動量

拉格朗日力學與哈密頓力學時常涉及廣義動量。這是因為採用廣義坐標有許多優點。而廣義動量是正則共軛於廣義坐標的物理量，又稱為共軛動量。

假設一個物理系統的廣義坐標是 ${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$ ，則廣義速度為 ${\displaystyle ({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!}$ 。表示廣義動量為 ${\displaystyle (p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N})\,\!}$ 。定義廣義動量為拉格朗日量 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 隨廣義速度的導數：

${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$ ；

廣義動量守恆定律

如果一個物理系統是單演系統與完整系統，那麼，哈密頓原理保證拉格朗日方程式的成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$  。

假若，${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$  不顯含廣義坐標 ${\displaystyle q_{k}\,\!}$  ：

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$  ，

則廣義動量 ${\displaystyle p_{k}\,\!}$  是常數。在此種狀況，坐標 ${\displaystyle q_{k}\,\!}$  稱為循環坐標，或可略坐標。舉例而言，如果我們用圓柱坐標 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}$  來描述一個粒子的運動，而 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$  與 ${\displaystyle \theta \,\!}$  無關，則廣義動量是守恆的角動量。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 廣義力
• 正則變換