廣義相對論中的數學

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狹義相對論

在狹義相對論中，微積分、矩陣為其所用到的主要數學工具，配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用，粗略地描述了時、空的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時，其轉換以以下方程表示：

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ 

${\displaystyle y'=y}$ 

${\displaystyle z'=z}$ 

${\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ 

其具有以下不變形式：

${\displaystyle {c^{2}}{t^{2}}-x^{2}-y^{2}-z^{2}={c^{2}}{t'^{2}}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}}$ 

或者寫成微分形式

${\displaystyle {c^{2}}{dt^{2}}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}={c^{2}}{dt'^{2}}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}}$ 

在適當地選取座標系可使${\displaystyle c=1}$ 

對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正：

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ 

${\displaystyle E=mc^{2}}$ 

其中

${\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ ，:${\displaystyle m_{0}}$ 為物質在靜止下的質量

能量和動量有以下關係：

${\displaystyle E^{2}={\left(pc\right)}^{2}+{\left(m_{0}c^{2}\right)}^{2}}$ 

廣義相對論

狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下，然而在討論大尺度且有引力場的情況下，就必須使用廣義相對論。

愛因斯坦認為，慣性坐標系並沒有優於其他坐標系，一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立，所有的變換應都是協變的。因此，在其論文中，大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具，其方程往往是非線性的，因此很難求解。

數學形式

一小段弧長ds平方的不變式

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }{dx^{\mu }}{dx^{\nu }}}$ 

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ 為度規張量

${\displaystyle {dx^{\mu }}}$ 和${\displaystyle {dx^{\nu }}}$ 為逆變張量

質點沿測地線運動，測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導，以下為測地線方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\sigma }}{ds}}=0}$ 

${\displaystyle \Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }}$ 為克里斯多福符號

在非歐式空間中，描述空間曲率的張量為黎曼－克里斯多福張量

${\displaystyle R_{\nu \rho \sigma }^{\beta }={\frac {\partial \Gamma _{\nu \sigma }^{\beta }}{\partial x^{\rho }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\nu \rho }^{\beta }}{\partial x^{\sigma }}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \rho }^{\beta }-\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\beta }}$ 

参考文献

外部連結

• 史丹佛大學廣義相對論的課程 （页面存档备份，存于互联网档案馆）