廣義座標

廣義座標是不特定的座標。假若，我們用一組廣義座標來導引方程式，所得到的答案，可以應用於較廣泛的問題；並且，當我們最後終於設定這座標時，答案仍舊是正確的^[1]。拉格朗日力學，哈密頓力學都需要用到廣義座標來表示基要概念與方程式。

獨立的廣義座標

當分析有的問題時（尤其是当有许多约束条件的时候），最好盡量選擇獨立的廣義座標。因為，這樣可以減少代表約束的變數。但是，當遇到非完整約束時，或者當計算約束力時，就必須使用關於這約束力的，相依的廣義座標。

在三維空間裏，假設一個物理系統擁有${\displaystyle n\,\!}$ 顆粒子；那麼，這系統的自由度是${\displaystyle 3n\,\!}$ 。再假設這系統有${\displaystyle h\,\!}$ 個完整約束；那麼，這系統的自由度變為${\displaystyle m=3n-h\,\!}$ 。必須用${\displaystyle m\,\!}$ 個獨立廣義座標${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})\,\!}$ 與時間${\displaystyle t\,\!}$ 來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad (i=1,\ 2,\ \dots n\,\!)}$ 。

雖然我們可能會遇到複雜的系統時，這轉換方程式具有足夠的靈活性來選擇最合適的座標。在思考虛位移與廣義力時，這轉換方程式也可以用來建造微分。

實例

 

雙擺

一個複擺，被約束地移動於一垂直平面，可以用四個直角座標${\displaystyle \lbrace x_{1},\ y_{1},\ x_{2},\ y_{2}\rbrace \,\!}$ 來描述。但是，這系統的自由度是2；我們可以用兩個廣義座標來更精簡地描述這雙擺運動：

${\displaystyle \lbrace q_{1},\ q_{2}\rbrace =\lbrace \theta _{1},\ \theta _{2}\rbrace \,\!}$ ；

這裏，

${\displaystyle \lbrace x_{1},\ y_{1}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1},\ l_{1}\cos \theta _{1}\rbrace \,\!}$ ，

${\displaystyle \lbrace x_{2},\ y_{2}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1}+l_{2}\sin \theta _{2},\ l_{1}\cos \theta _{1}+l_{2}\cos \theta _{2}\rbrace \,\!}$ 。

一粒珠子，被約束地移動在一條穿過它的鐵絲上，自由度是1。它的運動可以用一個廣義座標來描述

${\displaystyle q_{1}=s\,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle s\,\!}$ 是珠子離鐵絲上一個參考點的徑長。這三維空間運動已被減縮為一維空間運動了。

一個物體，被約束在一個表面上，自由度是2；雖然它的運動也是嵌在三維空間裏。如果這表面是球表面，一個很好的選擇是

${\displaystyle \lbrace q_{1},\ q_{2}\rbrace =\lbrace \theta ,\ \phi \rbrace \,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle \theta \,\!}$ 與${\displaystyle \phi \,\!}$ 是球坐標系的角座標。因為${\displaystyle r\,\!}$ 座標是常數，可以被忽略掉。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 虛功
• 廣義力
• 廣義速度

參考文獻

1. Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 259. ISBN 0-03-063366-4 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)