庫拉托夫斯基十四集問題

在点集拓扑学中，庫拉托夫斯基十四集問題敘述是：給定拓樸空間的子集${\displaystyle S}$，對${\displaystyle S}$做任意有限次數的取補集或閉包，最多可以得到幾個不同的集合？

本問題又被稱作閉包補集問題，由庫拉托夫斯基於1922年提出，並給出了解答 14^[1] 。约翰·L·凯利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題^[2]，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

證明

對所有子集${\displaystyle A}$ ，將${\displaystyle A}$ 的補集記為${\displaystyle A^{/}}$ ，閉包記為${\displaystyle A^{-}}$ ，則有以下 3 件事實

1. ${\displaystyle A^{//}=A}$  (取補集是對合的)
2. ${\displaystyle A^{--}=A^{-}}$  (取閉包是冪等的)
3. ${\displaystyle A^{/-/-/-/-}=A^{/-/-}}$  (或等價的${\displaystyle A^{-/-/-/-}=A^{-/-}}$ ，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

${\displaystyle S^{/},S^{/-},S^{/-/},S^{/-/-},S^{/-/-/},...}$  及 ${\displaystyle S^{-},S^{-/},S^{-/-},S^{-/-/},S^{-/-/-},...}$ 

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對${\displaystyle S}$ 取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱${\displaystyle S}$ 是個 14-集。事實上，實數空間 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

${\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}$ 

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間和閉區間。

其他結果

1962 年 T.A. Chapman 發現，對${\displaystyle S}$ 做任意有限次數的取内部或閉包，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

${\displaystyle S^{0},S^{0-},S^{0-0},S^{0-0-},S^{0-0-0},...}$  及 ${\displaystyle S^{-},S^{-0},S^{-0-},S^{-0-0},S^{-0-0-},...}$ 

其中，${\displaystyle A^{0}}$ 代表${\displaystyle A}$ 的內部。

代數結構

雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較代數，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了^[3]。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個么半群，可以用來對不同拓樸空間做分類^[4]。

參考資料

1. Kuratowski, Kazimierz. Sur l'operation A de l'Analysis Situs (PDF). Fundamenta Mathematicae (Warsaw: Polish Academy of Sciences). 1922, 3: 182–199 [2019-01-29]. ISSN 0016-2736. （原始内容 (PDF)于2018-07-20）. 
2. Kelley, John. General Topology. Van Nostrand. 1955: 57. ISBN 0-387-90125-6. 
3. Hammer, P. C. Kuratowski's Closure Theorem. Nieuw Archief voor Wiskunde (Royal Dutch Mathematical Society). 1960, 8: 74–80. ISSN 0028-9825. 
4. Schwiebert, Ryan. The radical-annihilator monoid of a ring. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. 

外部連結

• The Kuratowski Closure-Complement Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，作者：B. J. Gardner 和 Marcel Jackson。
• The Kuratowski Closure-Complement Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆），作者：Mark Bowron。