并行退火

并行退火（Parallel tempering），也称作replica exchange MCMC sampling，是一种用于动态改进蒙特卡罗方法的模拟算法。该算法用于模拟物理过程。同时更普遍地应用于蒙特卡罗马可夫链（Markov chain Monte Carlo，MCMC）抽样方法。^[1] Sugita和Okamoto数学定义了一种分子动力学描述的并行退火算法：^[2]通常被称为replica-exchange molecular dynamics（REMD）。

原理

一般的蒙特卡洛模拟使用Metropolis抽样，即接受概率${\displaystyle P(acc)=min(1,e^{-{\frac {\Delta U}{k_{B}T}}})}$ ，相同高度的势垒，温度越低越难以逾越，使得模拟需要相当长的模拟步长才能达到平衡，统计抽样满足各态历经。为了提高性能，采取如下策略：同时模拟一系列仅有温度不同的系统，在某些时刻随机选取相邻两个温度的系统，按如下接受概率置换两系统的温度：

${\displaystyle p(acc)=\min \left(1,{\frac {\exp \left(-{\frac {E_{j}}{k_{B}T_{i}}}-{\frac {E_{i}}{k_{B}T_{j}}}\right)}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT_{i}}}-{\frac {E_{j}}{kT_{j}}}\right)}}\right)=\min \left(1,e^{(E_{i}-E_{j})\left({\frac {1}{kT_{i}}}-{\frac {1}{kT_{j}}}\right)}\right),}$ 

其中，E_i和E_j是两个系统的总能量，T_i，T_j是温度，k_B是玻尔兹曼因子。温度置换的过程是非物理的，但只要在一步中选择普通Metropolis抽样和温度置换分别以一定概率择其一，此过程仍然遵守细致平衡。^[3]

推广

并行退火可以用于温度以外的变量以改进抽样。例如，巨正则系综下蒙特卡罗模拟兰纳-琼斯势粒子的气液相平衡时，如果系统条件远离临界温度，密度的涨落很小，模拟中难以观测相变。而同时模拟多个化学势的系统，并按相似的接受法则置换系统的化学势：

${\displaystyle p(acc)=\min \left(1,\exp \left[(\beta _{j}\mu _{j}^{ex}-\beta _{i}\mu _{i}^{ex})(N_{i}-N_{j})-(\beta _{j}-\beta _{i})(U_{i}-U_{j})\right]\right),}$ 

其中i,j是两个超额化学势（相对理想气体）分别为${\displaystyle \mu _{i},\mu _{j}}$ 的系统，它们的粒子个数分别为${\displaystyle N_{i},N_{j}}$ ，内能分别为${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ . 此模拟得到的密度概率函数能准确地反映气相和液相两个峰。^[4]

神经网络

并行退火在训练神经网络时也有相似的应用。将一个系统运行在N个不同温度的条件下，并根据Metropolis法则 （页面存档备份，存于互联网档案馆）交换不同温度下的状态，因而可以用高温环境的参数去模拟低温环境，反之亦然。并行退火算法可用于人工神经网络训练，改进MCMC，虽然增加了计算复杂度，但提供了更快的马尔科夫链混合（mixing，指收敛）速度和更高的准确性。神经元之间的参数交换被描述为不同温度下分子状态的交换，随机交换的概率由Metropolis法则给出。尤其用于约束波茨曼机训练。^[5]

参考

1. David J. Earl and Michael W. Deem (2005) "Parallel tempering: Theory, applications, and new perspectives" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Phys. Chem. Chem. Phys., 7, 3910
2. Y. Sugita and Y. Okamoto. Replica-exchange molecular dynamics method for protein folding. Chemical Physics Letters. 1999, 314: 141–151. doi:10.1016/S0009-2614(99)01123-9. 
3. Radford M. Neal. Sampling from multimodal distributions using tempered transitions. Statistics and Computing. 1996, 6 (4): 353–366. doi:10.1007/BF00143556. 
4. Frenkel, D. & Smit, B. Understanding Molecular Simulation. Academic Press. 2010: 395. ISBN 978-981-272509-7. 
5. Parallel Tempering for Training of Restricted Boltzmann Machine. （页面存档备份，存于互联网档案馆） R.Salakhutdinov, 2009.