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平面刚体运动

一月 30, 2023


平面刚体运动，是一种在平面上进行的几何变换.反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点，即所谓“保距性”.也就是说，对于平面内任意两点P、Q，在反射（或某种几何变换）下对应的点是P'和Q'，那么P'到Q'的距离，就等于PQ的距离.借用物理学上的刚体一词，我们把这种变换叫做：平面刚体运动.

定义

设α是一个平面，映射

m:平面α→平面α

是一个一一映射，若m保持平面α内任意两点间的距离不变，则称m是一个平面刚体运动.[1]

解释

下面我们对上述定义做一个简单解释.任意一个平面刚体运动m:平面α→平面α都满足以下4条：

  1. 对于平面α内的任意一点P，在平面α内存在唯一的一点P'与之对应，记作P'=m(P)，P'叫做P在m作用下的象；
  2. 任取平面α内的一点P'，存在平面α内的唯一一点P，使得P'是P在变换m作用下的象；
  3. 任取平面α内的两点P1、P2，如果P1≠P2，那么它们的象也是不同的，即：m(P1)≠m(P2);
  4. 任取平面α内的两点P、Q，它们在m下的象是P'和Q'，即：P'=m(P)，Q'=m(Q)，那么|P'Q'|=|PQ|，即点P'，Q'之间的距离与点P，Q之间的距离相等.

平移、旋转、反射是三种最常见的平面刚体运动.[2]

性质

保持距离不变是m的一个很强的性质。通过这一性质我们可以证明：只要知道不共线的三点A，B，C在m下的象A'，B'，C'，m就完全确定下来了

命题1

平面刚体运动

m:平面α→平面α

将平面α内的直线映射成直线，射线映射成射线，线段映射成等长的线段。

证明：令l是平面α内的任意一条直线，设m把l上所有的点映到点集l'.在l上任取两点A，B，设m把它们分别映射到A'，B'.下面证明l'是过A'，B'的直线.在AB上任取一点C，设m把点C映射到点C'.

  1. 当点C在AB之间时，由平面刚体运动的定义得：|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|，所以点C'在线段A'B'上.
  2. 当点C在AB的延长线上时，我们有：|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|，所以B'在线段A'C'上，即点C'在线段A'B'的延长线上.
  3. 同理可证，当点C在BA的延长线上时，点C'在线段B'A'的延长线上.

综上所述，由点A，B，C的任意性可知，l'是一条直线

证毕.[3]

命题2

三角形在平面刚体运动的作用下，形状和大小都保持不变.

证明：设△ABC是平面α内的任意一个三角形，由已证明题可知，平面刚体运动

m:平面α→平面α

把线段AB，BC，AC依次映射成线段A'B'，B'C'，A'C'，而且AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.

由于AB+BC>AC，故A'B'+B'C'>A'C'，所以AB，BC，CA，构成了一个以A，B，C为顶点的三角形，而且△ABC与△ABC全等.

证毕.

用类似的方法可证得：在平面刚体运动m的作用下，正n边形的大小和形状都保持不变.

特殊

设

m:平面α→平面α

是一个平面刚体运动，若在平面α内至少存在一个点O，点O在m的作用下保持不动，即m(O)=O，我们称m为有不动点的平面刚体运动.可以证明：只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换.[4]

参考资料

  1. ^ 张英伯; 宋莉莉. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  2. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 7. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  3. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 8. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  4. ^ 张英伯; 宋莉莉. 附录二. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 49. ISBN 978-7-107-18021-7. 

一月 30, 2023
平面刚体运动, 此條目需要精通或熟悉数学, 物理的编者参与及协助编辑, 2021年9月23日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 另見其他需要数学專家關注的頁面, 是一种在平面上进行的几何变换, 反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点, 即所谓, 保距性, 也就是说, 对于平面内任意两点p, 在反射, 或某种几何变换, 下对应的点是p, 和q, 那么p, 到q, 的距离, 就等于pq的距离, 借用物理学上的刚体一词, 我们把这种变换叫做, 目录, 定义, 解释, 性质, 命题1, . 此條目需要精通或熟悉数学 物理的编者参与及协助编辑 2021年9月23日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 另見其他需要数学專家關注的頁面 平面刚体运动 是一种在平面上进行的几何变换 反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点 即所谓 保距性 也就是说 对于平面内任意两点P Q 在反射 或某种几何变换 下对应的点是P 和Q 那么P 到Q 的距离 就等于PQ的距离 借用物理学上的刚体一词 我们把这种变换叫做 平面刚体运动 目录 1 定义 2 解释 3 性质 3 1 命题1 3 2 命题2 4 特殊 5 参考资料定义 编辑设a是一个平面 映射m 平面a 平面a是一个一一映射 若m保持平面a内任意两点间的距离不变 则称m是一个平面刚体运动 1 解释 编辑下面我们对上述定义做一个简单解释 任意一个平面刚体运动m 平面a 平面a都满足以下4条 对于平面a内的任意一点P 在平面a内存在唯一的一点P 与之对应 记作P m P P 叫做P在m作用下的象 任取平面a内的一点P 存在平面a内的唯一一点P 使得P 是P在变换m作用下的象 任取平面a内的两点P1 P2 如果P1 P2 那么它们的象也是不同的 即 m P1 m P2 任取平面a内的两点P Q 它们在m下的象是P 和Q 即 P m P Q m Q 那么 P Q PQ 即点P Q 之间的距离与点P Q之间的距离相等 平移 旋转 反射是三种最常见的平面刚体运动 2 性质 编辑保持距离不变是m的一个很强的性质 通过这一性质我们可以证明 只要知道不共线的三点A B C在m下的象A B C m就完全确定下来了 命题1 编辑 平面刚体运动m 平面a 平面a将平面a内的直线映射成直线 射线映射成射线 线段映射成等长的线段 证明 令l是平面a内的任意一条直线 设m把l上所有的点映到点集l 在l上任取两点A B 设m把它们分别映射到A B 下面证明l 是过A B 的直线 在AB上任取一点C 设m把点C映射到点C 当点C在AB之间时 由平面刚体运动的定义得 A C CB AC CB AB A B 所以点C 在线段A B 上 当点C在AB的延长线上时 我们有 A B B C AB BC AC A C 所以B 在线段A C 上 即点C 在线段A B 的延长线上 同理可证 当点C在BA的延长线上时 点C 在线段B A 的延长线上 综上所述 由点A B C的任意性可知 l 是一条直线证毕 3 命题2 编辑 三角形在平面刚体运动的作用下 形状和大小都保持不变 证明 设 ABC是平面a内的任意一个三角形 由已证明题可知 平面刚体运动m 平面a 平面a把线段AB BC AC依次映射成线段A B B C A C 而且AB A B BC B C AC A C 由于AB BC gt AC 故A B B C gt A C 所以AB BC CA 构成了一个以A B C为顶点的三角形 而且 ABC与 ABC全等 证毕 用类似的方法可证得 在平面刚体运动m的作用下 正n边形的大小和形状都保持不变 特殊 编辑设m 平面a 平面a是一个平面刚体运动 若在平面a内至少存在一个点O 点O在m的作用下保持不动 即m O O 我们称m为有不动点的平面刚体运动 可以证明 只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换 4 参考资料 编辑 张英伯 宋莉莉 对称与群 人民教育出版社 2007 6 ISBN 978 7 107 18021 7 引文使用过时参数coauthors 帮助 张英伯 宋莉莉 平面刚体的对称群 对称与群 人民教育出版社 2007 7 ISBN 978 7 107 18021 7 引文使用过时参数coauthors 帮助 张英伯 宋莉莉 平面刚体的对称群 对称与群 人民教育出版社 2007 8 ISBN 978 7 107 18021 7 引文使用过时参数coauthors 帮助 张英伯 宋莉莉 附录二 对称与群 人民教育出版社 2007 49 ISBN 978 7 107 18021 7 引文使用过时参数coauthors 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 平面刚体运动 amp oldid 73901816, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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