幂平均, power, mean, 也叫广义平均, generalized, mean, 或赫尔德平均, hölder, mean, 是毕达哥拉斯平均, 包含了算术, 几何, 调和平均, 的一种抽象化, 目录, 定义, 性质, 不等式, 特例, 不等式的证明, 不同符号的不等式之等价, 几何平均, 不等式, 最小值与最大值, 广义, 平均, 应用, 信号处理, 参见条目, 外部链接定义, 编辑若, displaystyle, nbsp, 是一非零实数, 可定义非負实数, displaystyle, dots, nb. 幂平均 power mean 也叫广义平均 generalized mean 或赫尔德平均 Holder mean 是毕达哥拉斯平均 包含了算术 几何 调和平均 的一种抽象化 目录 1 定义 2 性质 2 1 幂平均不等式 3 特例 4 幂平均不等式的证明 4 1 不同符号的不等式之等价 4 2 几何平均 4 3 幂平均不等式 5 最小值与最大值 6 广义 f 平均 7 应用 7 1 信号处理 8 参见条目 9 外部链接定义 编辑若 p displaystyle p nbsp 是一非零实数 可定义非負实数 x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp 的p次幂平均为 M p x 1 x n 1 n i 1 n x i p 1 p displaystyle M p x 1 dots x n left frac 1 n cdot sum i 1 n x i p right frac 1 p nbsp 性质 编辑和所有平均一样 幂平均是各参数 x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp 的一次齐次函数 即若 b displaystyle b nbsp 是一个正实数 则 b x 1 b x n displaystyle b cdot x 1 dots b cdot x n nbsp 指数为 p displaystyle p nbsp 的幂平均等于 b displaystyle b nbsp 倍 x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp 的幂平均 与几何算术平均一样 这种平均的计算可以分解成同样大小的子块来计算 M p x 1 x n k M p M p x 1 x k M p x k 1 x 2 k M p x n 1 k 1 x n k displaystyle M p x 1 dots x n cdot k M p M p x 1 dots x k M p x k 1 dots x 2 cdot k dots M p x n 1 cdot k 1 dots x n cdot k nbsp dd 幂平均不等式 编辑 一般地 如果 p lt q displaystyle p lt q nbsp 则 M p x 1 x n M q x 1 x n displaystyle M p x 1 dots x n leq M q x 1 dots x n nbsp 且这两个平均相等当且仅当 x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 cdots x n nbsp 这由事实 p R M p x 1 x n p 0 displaystyle forall p in mathbb R frac partial M p x 1 dots x n partial p geq 0 nbsp 得出 上述不等式可由琴生不等式证明 特别地 对 p 1 0 1 displaystyle p in 1 0 1 nbsp 幂平均不等式蕴含了毕达哥拉斯平均不等式以及算术几何平均不等式 特例 编辑 nbsp 特例 n 2 时的图形描述 M x 1 x n lim p M p x 1 x n min x 1 x n displaystyle M infty x 1 dots x n lim p to infty M p x 1 dots x n min x 1 dots x n nbsp 最小值M 1 x 1 x n n 1 x 1 1 x n displaystyle M 1 x 1 dots x n frac n frac 1 x 1 dots frac 1 x n nbsp 调和平均M 0 x 1 x n lim p 0 M p x 1 x n x 1 x n n displaystyle M 0 x 1 dots x n lim p to 0 M p x 1 dots x n sqrt n x 1 cdot dots cdot x n nbsp 几何平均M 1 x 1 x n x 1 x n n displaystyle M 1 x 1 dots x n frac x 1 dots x n n nbsp 算术平均M 2 x 1 x n x 1 2 x n 2 n displaystyle M 2 x 1 dots x n sqrt frac x 1 2 dots x n 2 n nbsp 平方平均M 3 x 1 x n x 1 3 x n 3 n 3 displaystyle M 3 x 1 dots x n sqrt 3 frac x 1 3 dots x n 3 n nbsp 立方平均M x 1 x n lim p M p x 1 x n max x 1 x n displaystyle M infty x 1 dots x n lim p to infty M p x 1 dots x n max x 1 dots x n nbsp 最大值幂平均不等式的证明 编辑不同符号的不等式之等价 编辑 假设指数 p displaystyle p nbsp 与 q displaystyle q nbsp 的幂平均间有不等式 i 1 n w i x i p p i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n w i x i p leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 则 i 1 n w i x i p p i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n frac w i x i p leq sqrt q sum i 1 n frac w i x i q nbsp 我们在两边取倒数 正实数上的严格递减函数 不等号反向 i 1 n w i x i p p 1 i 1 n w i 1 x i p p 1 i 1 n w i 1 x i q q i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n w i x i p sqrt p frac 1 sum i 1 n w i frac 1 x i p geq sqrt q frac 1 sum i 1 n w i frac 1 x i q sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 我们得到了关于 p displaystyle p nbsp 与 q displaystyle q nbsp 的幂平均不等式 同样的推理可以倒推 从而证明了两个不等式等价 这在后面的证明中将用到 几何平均 编辑 对任何 q displaystyle q nbsp 指数为 q displaystyle q nbsp 的幂平均与几何平均之间的不等式为 i 1 n x i w i i 1 n w i x i q q displaystyle prod i 1 n x i w i leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp i 1 n w i x i q q i 1 n x i w i displaystyle sqrt q sum i 1 n w i x i q leq prod i 1 n x i w i nbsp 第一个不等式对正数 q displaystyle q nbsp 第二个对负数 我们在两边取 q displaystyle q nbsp 次幂 i 1 n x i w i q i 1 n w i x i q displaystyle prod i 1 n x i w i cdot q leq sum i 1 n w i x i q nbsp 两种情形我们都得到关于 x i q displaystyle x i q nbsp 的加权算术几何平均不等式 这可以用琴生不等式证明 利用对数函数是凸函数的事实 i 1 n w i log x i log i 1 n w i x i displaystyle sum i 1 n w i log x i leq log left sum i 1 n w i x i right nbsp log i 1 n x i w i log i 1 n w i x i displaystyle log left prod i 1 n x i w i right leq log left sum i 1 n w i x i right nbsp 两边取指数函数 严格递增 我们得到了不等式 i 1 n x i w i i 1 n w i x i displaystyle prod i 1 n x i w i leq sum i 1 n w i x i nbsp 从而对任何正数 q displaystyle q nbsp 下式成立 i 1 n w i x i q q i 1 n x i w i i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt q sum i 1 n w i x i q leq prod i 1 n x i w i leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 因为此不等式对任何 q displaystyle q nbsp 成立 足够小同样成立 可以将证明 利用洛必达法则 当 q displaystyle q nbsp 趋于 0 时 左右两边趋于几何平均 q displaystyle q nbsp 趋于 0 时的幂平均是几何平均 lim q 0 i 1 n w i x i q q i 1 n x i w i displaystyle lim q rightarrow 0 sqrt q sum i 1 n w i x i q prod i 1 n x i w i nbsp 幂平均不等式 编辑 我们将证明对任何 p lt q displaystyle p lt q nbsp 如下不等式成立 i 1 n w i x i p p i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n w i x i p leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 如果 p displaystyle p nbsp 是负数且 q displaystyle q nbsp 是正数 不等式等价于上面已证过的 i 1 n w i x i p p i 1 n x i w i i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n w i x i p leq prod i 1 n x i w i leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 对正数 p displaystyle p nbsp 与 q displaystyle q nbsp 的证明如下 定义函数 f R R displaystyle f mathbb R rightarrow mathbb R nbsp f x x q p displaystyle f x x frac q p nbsp f 是一个幂函数 所以有二阶导数 f x q p q p 1 x q p 2 displaystyle f x left frac q p right left frac q p 1 right x frac q p 2 nbsp 在 f displaystyle f nbsp 的定义域内严格正 因为 q gt p displaystyle q gt p nbsp 从而我们知道 f displaystyle f nbsp 是凸的 利用这一点以及琴生不等式 我们得到 f i 1 n w i x i p i 1 n w i f x i p displaystyle f sum i 1 n w i x i p leq sum i 1 n w i f x i p nbsp i 1 n w i x i p p q i 1 n w i x i q displaystyle sqrt frac p q sum i 1 n w i x i p leq sum i 1 n w i x i q nbsp 两边取 1 q displaystyle frac 1 q nbsp 次幂 递增函数 因 1 q displaystyle frac 1 q nbsp 为正数 我们得到了欲证之不等式 i 1 n w i x i p p i 1 n w i x i q q displaystyle sqrt p sum i 1 n w i x i p leq sqrt q sum i 1 n w i x i q nbsp 最后使用先前证过的等价性 我们得到了关于负数 p displaystyle p nbsp 与 q displaystyle q nbsp 的不等式 证毕 最小值与最大值 编辑此段最后将证明当指数 p displaystyle p nbsp 趋于 displaystyle infty nbsp 与 displaystyle infty nbsp 其幂平均的幂平均分别趋于最小值与最大值 定义指数为 displaystyle infty nbsp 与 displaystyle infty nbsp 的幂平均为最大值与最小值 从而应该有 min x 1 x 2 x n i 1 n w i x i q q max x 1 x 2 x n displaystyle min x 1 x 2 ldots x n leq sqrt q sum i 1 n w i x i q leq max x 1 x 2 ldots x n nbsp 对最大值证明如下 不失一般性假设序列 x i displaystyle x i nbsp 非减且全不为零 则不等式等价于 i 1 n w i x i q q x 1 displaystyle sqrt q sum i 1 n w i x i q leq x 1 nbsp 两边取 q displaystyle q nbsp 次幂 我们得到不等式 取决于 q displaystyle q nbsp 的符号 i 1 n w i x i q x 1 q displaystyle sum i 1 n w i x i q leq color red geq x 1 q nbsp 若 q gt 0 displaystyle q gt 0 nbsp 为 若 q lt 0 displaystyle q lt 0 nbsp 为 两边同时减去 w 1 x 1 q displaystyle w 1 x 1 q nbsp 我们得到 i 2 n w i x i q 1 w 1 x 1 q displaystyle sum i 2 n w i x i q leq color red geq 1 w 1 x 1 q nbsp 除以 1 w 1 displaystyle 1 w 1 nbsp i 2 n w i 1 w 1 x i q x 1 q displaystyle sum i 2 n frac w i 1 w 1 x i q leq color red geq x 1 q nbsp 1 w 1 displaystyle 1 w 1 nbsp 不为零 从而 i 2 n w i 1 w 1 1 displaystyle sum i 2 n frac w i 1 w 1 1 nbsp 减去 x 1 q displaystyle x 1 q nbsp 剩下 i 2 n w i 1 w 1 x i q x 1 q 0 displaystyle sum i 2 n frac w i 1 w 1 x i q x 1 q leq color red geq 0 nbsp 这是显然的 因为 x 1 displaystyle x 1 nbsp 大于或等于任何 x i displaystyle x i nbsp 从而 x i q x 1 q 0 displaystyle x i q x 1 q leq color red geq 0 nbsp 对最小值证明几乎相同 只不过将 x 1 displaystyle x 1 nbsp w 1 displaystyle w 1 nbsp 换作 x n displaystyle x n nbsp w n displaystyle w n nbsp 证毕 另一方面 当 q displaystyle q nbsp 大于零时 由简单的推理以及上面的不等式有 w 1 x 1 q q lt i 1 n w i x i q q x 1 displaystyle sqrt q w 1 x 1 q lt sqrt q sum i 1 n w i x i q leq x 1 nbsp 令 q displaystyle q nbsp 趋于 displaystyle infty nbsp 时 左边同样趋于 x 1 displaystyle x 1 nbsp 由夹逼定理知中间项幂平均趋于 x 1 displaystyle x 1 nbsp 最小值的证明完全类似 广义 f 平均 编辑主条目 广义 f 平均 幂平均可以推广到更一般的广义 f 平均 英语 Quasi arithmetic mean M f x 1 x n f 1 1 n i 1 n f x i displaystyle M f x 1 dots x n f 1 left frac 1 n cdot sum i 1 n f x i right nbsp 例如这包括了几何平均而勿需使用极限 幂平均是由 f x x p displaystyle f left x right x p nbsp 得到的 应用 编辑信号处理 编辑 幂平均作为一个非线性移动平均 对於小 p displaystyle p nbsp 值 幂平均比较偏重小信号值 对於大 p displaystyle p nbsp 值 幂平均则会强调大信号值 给予一个高效率移动算术平均的实施函数 称为 smooth 工程师可以按照下述 Haskell 代码 设计一个移动幂平均实施函数 powerSmooth Floating a gt a gt a gt a gt a gt a powerSmooth smooth p map recip p smooth map p 对於大 p displaystyle p nbsp 值 这可作为一个整流信号的包封檢測器 envelope detector 对於小 p displaystyle p nbsp 值 这可作为一个質量譜的基线侦测器 baseline detector 参见条目 编辑平均 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 海伦平均 Heronian mean 莱默平均 Lehmer mean 也是一个与幂有关的平均数 算术几何平均不等式外部链接 编辑Power mean at MathWorld 页面存档备份 存于互联网档案馆 Examples of Generalized Mean 页面存档备份 存于互联网档案馆 A proof of the Generalized Mean 页面存档备份 存于互联网档案馆 on PlanetMath 平均論 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 幂平均 amp oldid 78410799, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,