局部環, 在數學中, 是只有一個極大理想的交換環, 的概念由, wolfgang, krull, 於1938年引入, 稱之為, stellenringe, 英譯, local, ring, 源自扎裡斯基, 目录, 定義, 例子, 動機與幾何詮釋, 非交換的情形, 文獻定義, 编辑設, displaystyle, 為交換含幺環, displaystyle, 僅有一個極大理想, displaystyle, mathfrak, 則稱, displaystyle, displaystyle, mathfrak, displ. 在數學中 局部環是只有一個極大理想的交換環 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入 稱之為 Stellenringe 英譯 local ring 源自扎裡斯基 目录 1 定義 2 例子 3 動機與幾何詮釋 4 非交換的情形 5 文獻定義 编辑設 R displaystyle R 為交換含幺環 若 R displaystyle R 僅有一個極大理想 m displaystyle mathfrak m 則稱 R displaystyle R 或 R m displaystyle R mathfrak m 為局部環 域 R m displaystyle R mathfrak m 稱為 R displaystyle R 的剩餘域 若 R displaystyle R 中僅有有限個極大理想 則稱之為半局部環 一個局部環 R m displaystyle R mathfrak m 上帶有一個自然的 m displaystyle mathfrak m 進拓撲 使得 R displaystyle R 成為拓撲環 其開集由 m i i 0 displaystyle mathfrak m i i geq 0 生成 當 R displaystyle R 為諾特環時 可證明 R displaystyle R 為豪斯多夫空間 且所有理想皆是閉理想 設 R m S n displaystyle R mathfrak m S mathfrak n 為局部環 環同態 ϕ R S displaystyle phi R rightarrow S 被稱為局部同態 若且唯若 m ϕ 1 n displaystyle mathfrak m phi 1 mathfrak n 例子 编辑域是局部環 形式冪級數環 k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n 是局部環 其中 k displaystyle k 是個域 極大理想是 X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n 取係數在R displaystyle mathbb R 或 C displaystyle mathbb C 上 原點附近收斂半徑為正的冪級數 它構成一個局部環 極大理想表法同上 凡賦值環皆為局部環 設 R displaystyle R 為任意交換環 p displaystyle mathfrak p 為素理想 則相應的局部化 R p p R p displaystyle R mathfrak p mathfrak p R mathfrak p 是局部環 這也是局部環應用的主要場合 若 R p displaystyle R mathfrak p 已是局部環 則 R R p displaystyle R stackrel sim rightarrow R mathfrak p 局部環的商環仍是局部環 動機與幾何詮釋 编辑局部環意在描述一個點附近的函數 芽 設 X displaystyle X 為拓撲空間 F R displaystyle F mathbb R 或 C displaystyle mathbb C 且x X displaystyle x in X 考慮所有資料 f U displaystyle f U 其中 U displaystyle U 是 x displaystyle x 的一個開鄰域 而 f U F displaystyle f U rightarrow F 是連續函數 引入等價關係 f U g V W U V f W g W displaystyle f U sim g V iff exists W subset U cap V f W g W 且 W displaystyle W 是 x displaystyle x 的開鄰域 換言之 若兩個函數在 x displaystyle x 附近一致 則視之等同 上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 G x displaystyle Gamma x 其元素稱作在 x displaystyle x 的連續函數芽 它體現了連續函數在 x displaystyle x 附近的行為 若 s G x displaystyle s in Gamma x 滿足 s x 0 displaystyle s x neq 0 則存在一個 x displaystyle x 的開鄰域 U displaystyle U 及連續函數 f U F displaystyle f U rightarrow F 使得 f U s displaystyle f U s 且 f displaystyle f 恆非零 因此可定義乘法逆元 1 s 1 f U displaystyle 1 s 1 f U 於是 G x displaystyle Gamma x 是局部環 其唯一的極大理想是所有在 x displaystyle x 點取零的函數 剩餘域則是 F displaystyle F 類似想法可施於微分流形 解析流形或複流形 稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形 在代數幾何與複幾何中 假設適當的有限性條件 例如凝聚性 若一陳述對某一點的芽成立 則在該點的某個開鄰域上皆成立 就此而論 局部環集中表現了一點附近的局部性質 在交換代數中 局部化的技術往往可將問題化約到局部環上 因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內 非交換的情形 编辑一個含么環 R displaystyle R 被稱作局部環 若且唯若它滿足下述等價條件 R 僅有一個極大左理想 R 僅有一個極大右理想 1 0 R displaystyle 1 neq 0 in R 且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元 1 0 R displaystyle 1 neq 0 in R 且對任何元素 x displaystyle x x displaystyle x 或 1 x displaystyle 1 x 必有一者可逆 1 0 R displaystyle 1 neq 0 in R 若 R displaystyle R 中某個有限和是可逆元 則其中某項必可逆 當上述任一性質成立 則下述三者等同 R 的唯一極大左理想 R 的唯一極大右理想 R 的 Jacobson根對於交換環 上述定義化為交換局部環的原始定義 文獻 编辑V I Danilov Local ring Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 H Matsumura Commutative algebra 1970 ISBN 0 8053 7026 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 局部環 amp oldid 68297025, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,