密克定理

密克定理（英語：Miquel's theorem）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陳述

 

三圓定理：設三個圓${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ 交於一點${\displaystyle O}$ ，而${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle P}$ 分別是${\displaystyle C_{1}}$  和${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ 和${\displaystyle C_{1}}$ 的另一交點。設${\displaystyle A}$ 為${\displaystyle C_{1}}$ 的點，直線${\displaystyle MA}$ 交${\displaystyle C_{2}}$ 於${\displaystyle B}$ ，直線${\displaystyle PA}$ 交${\displaystyle C_{3}}$ 於${\displaystyle C}$ 。那麼${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle C}$ 這三點共線。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$ 是三角形，${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle N}$ , ${\displaystyle P}$ 三點分別在邊${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ 上，那麼三角形${\displaystyle \triangle AMP}$ , ${\displaystyle \triangle BMN}$ , ${\displaystyle \triangle CNP}$ 的外接圓交於一點${\displaystyle O}$ 。

完全四線形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$ 是完全四線形，那麼三角形${\displaystyle \triangle EAD}$ , ${\displaystyle \triangle EBC}$ , ${\displaystyle \triangle FAB}$ , ${\displaystyle \triangle FDC}$ 的外接圓交於一點 ${\displaystyle O}$ ，稱為密克點。

 

四圓定理：設${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ ,${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{4}}$ 為四個圓，${\displaystyle A_{1}}$ 和${\displaystyle B_{1}}$ 是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$ 的交點，${\displaystyle A_{2}}$ 和${\displaystyle B_{2}}$ 是${\displaystyle C_{2}}$  和${\displaystyle C_{3}}$ 的交點，${\displaystyle A_{3}}$ 和${\displaystyle B_{3}}$ 是${\displaystyle C_{3}}$ 和${\displaystyle C_{4}}$ 的交點，${\displaystyle A_{4}}$ 和${\displaystyle B_{4}}$ 是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{4}}$ 的交點。那麼${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle A_{2}}$ , ${\displaystyle A_{3}}$ , ${\displaystyle A_{4}}$ 四點共圓當且僅當${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ , ${\displaystyle B_{3}}$ , ${\displaystyle B_{4}}$ 四點共圓。

   

 

五圓定理：設${\displaystyle ABCDE}$ 為任意五邊形，五點${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle I}$ , ${\displaystyle J}$ 分別是${\displaystyle EA}$ 和${\displaystyle BC}$  , ${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle CD}$ , ${\displaystyle BC}$ 和${\displaystyle DE}$ , ${\displaystyle CD}$ 和${\displaystyle EA}$ , ${\displaystyle DE}$ 和${\displaystyle AB}$ 的交點，那麼三角形${\displaystyle \triangle ABF}$ , ${\displaystyle \triangle BCG}$ , ${\displaystyle \triangle CDH}$ , ${\displaystyle \triangle DEI}$ , ${\displaystyle \triangle EAJ}$ 的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。(註:此圓並不穿過五個外接圓的圓心)^{[來源請求]}

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。^[1]

逆定理：設${\displaystyle C_{1},}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ , ${\displaystyle C_{4}}$ , ${\displaystyle C_{5}}$ 五個圓的圓心都在圓${\displaystyle C}$ 上，相鄰的圓交於${\displaystyle C}$ 上，那麼把它們不在${\displaystyle C}$ 上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年奧古斯特·密克在約瑟夫·劉維爾的期刊《纯粹与应用数学杂志》發表了該定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質雅各布·施泰納在1828年已經知道，威廉·華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由威廉·金頓·克利福德提出及證明。

2000年12月20日，中共中央總書記江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題^[2]，令問題重新引起廣泛興趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

阿蘭·孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。

參考資料

1. Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 79. ISBN 0-14-011813-6. 
2. 江主席出題　濠江教師破解 （页面存档备份，存于互联网档案馆） - 濠江中學截取自澳門日報的新聞資料

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Miquel's theorem. MathWorld. 
• at