外尔特征标公式, 外尔特徵標公式, weyl, character, formula, 描述緊李羣不可約表示的特徵標, 其名來自證明者赫尔曼, 外尔, 定義, 羣g的表示r的特徵標為一函數, displaystyle, rightarrow, displaystyle, 其中tr, 為線性算子之迹, 由彼得, 外尔定理, 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的, 故迹之定義為線性代數中之定義, 特徵標, 記住了表示, 本身的重要訊息, 外尔特徵標公式用羣g的其他資料來表達, 本文考慮複表示, 不失一般亦設其為酉表示. 外尔特徵標公式 Weyl s character formula 描述緊李羣不可約表示的特徵標 其名來自證明者赫尔曼 外尔 定義 羣G的表示r的特徵標為一函數 x G C displaystyle chi G rightarrow C x g T r r g displaystyle chi g Tr r g 其中Tr 為線性算子之迹 由彼得 外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的 故迹之定義為線性代數中之定義 特徵標 x 記住了表示 r 本身的重要訊息 外尔特徵標公式用羣G的其他資料來表達 x 本文考慮複表示 不失一般亦設其為酉表示 因而 不可約 亦等價於 不可分解 即非二子表示之直和 目录 1 公式 2 外尔分母公式 3 外尔維度公式 4 Freudenthal 公式 5 外尔 Kac 特徵標公式 6 參攷 7 註公式 编辑緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式 w W 1 det w w e l r e r a gt 0 1 e a displaystyle sum w in W 1 det w w e lambda rho over e rho prod alpha gt 0 1 e alpha 其中 r 為羣G 之外尔向量 即各正根之和之半 W 為 外尔羣 l 為不可約表示之 最高權 a 遍歴G之每一正根 外尔分母公式 编辑在 1 維表示的特例中 特徵標為 1 而外尔特徵標公式簡化成 外尔分母公式 w W 1 det w w e r e r a gt 0 1 e a displaystyle sum w in W 1 det w w e rho e rho prod alpha gt 0 1 e alpha 若G為特殊么正羣 則簡化成范德蒙行列式的等式 s S n sgn s a 1 s 1 1 a n s n 1 1 i lt j n a j a i displaystyle sum sigma in S n operatorname sgn sigma alpha 1 sigma 1 1 cdots alpha n sigma n 1 prod 1 leq i lt j leq n alpha j alpha i 外尔維度公式 编辑若只考慮單位元1之迹 則外尔特徵標公式 特殊化成 外尔維數公式 dim V L a gt 0 L r a a gt 0 r a displaystyle dim V Lambda prod alpha gt 0 Lambda rho alpha over prod alpha gt 0 rho alpha dim V L a gt 0 L r a a gt 0 r a displaystyle dim V Lambda prod alpha gt 0 Lambda rho alpha over prod alpha gt 0 rho alpha dd 其中 VL為有限維表示 其最高權為L r為外尔向量 a 遍歴所有正根 由於式中分子與分母俱為高階零 故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限 Freudenthal 公式 编辑Hans Freudenthal發現了權重數 英语 weight multiplicities 符合之一遞歸公式 此公式等價於外尔特徵標公式 而在某些情況下更簡便 式曰 L r 2 l r 2 dim V l 2 a gt 0 j 1 l j a a dim V l j a displaystyle Lambda rho 2 lambda rho 2 dim V lambda 2 sum alpha gt 0 sum j geq 1 lambda j alpha alpha dim V lambda j alpha dd 其中 L 為一最高權 l 為另一權 dim Vl 為權l 之重數 r 為外尔向量 外和中之 a 歴遍所有正根 外尔 Kac 特徵標公式 编辑外尔特徵標公式 亦適用於卡茨 穆迪代数之可積最高權表示 外尔 Kac 特特徵標公式 同樣地 分母恆等式亦可推廣至卡茨 穆迪代数 其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式 其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式 m 1 1 x 2 m 1 x 2 m 1 y 1 x 2 m 1 y 1 n 1 n x n 2 y n displaystyle prod m 1 infty left 1 x 2m right left 1 x 2m 1 y right left 1 x 2m 1 y 1 right sum n infty infty 1 n x n 2 y n 此特徵公式可推廣至广义卡茨 穆迪代数之可積最高權表示 w W 1 det w w e l r S e r a gt 0 1 e a displaystyle sum w in W 1 det w w e lambda rho S over e rho prod alpha gt 0 1 e alpha 其中 S 為一修正項 S I 1 I e S I displaystyle S sum I 1 I e Sigma I 其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權l displaystyle lambda 正交 且互相正交之有限子集 I 集 I 之基數 而 SI為集 I 內元素之和 而Monster 李代數之 分母公式 則為椭圓模函數 英语 elliptic modular function j之積公式 j p j q 1 p 1 q n m 1 1 p n q m c n m displaystyle j p j q left 1 over p 1 over q right prod n m 1 infty 1 p n q m c nm dd Peterson 發現了 廣義 可對稱化 英语 symmetrisable 卡茨 穆迪代数之根重數 mult b 遞歸公式 此公式等價於外尔 卡茨分母公式 但更便於計算 b b 2 r c b g d b g d c g c d displaystyle beta beta 2 rho c beta sum gamma delta beta gamma delta c gamma c delta dd 其中g 與 d 遍歴所有正根 而 c b n 1 m u l t b n n displaystyle c beta sum n geq 1 rm mult beta n over n dd 參攷 编辑Infinite dimensional Lie algebras V G Kac ISBN 0 521 37215 1 Duncan J Melville Weyl Kac character formula Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 註 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 外尔特征标公式 amp oldid 58364176, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,