雅可比三重乘积, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2020年5月12日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, . 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2020年5月12日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2020年5月12日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 此條目没有列出任何参考或来源 2020年5月12日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔 雅可比在对theta函数和q 模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式 形如 k 1 1 q 2 k 1 q 2 k 1 z 2 1 q 2 k 1 z 2 k q k 2 z 2 k displaystyle prod k 1 infty 1 q 2k 1 q 2k 1 z 2 1 q 2k 1 z 2 sum k infty infty q k 2 z 2k 其中q lt 1 displaystyle q lt 1 在单位圆盘内 而z 0 displaystyle z neq 0 非零 它也可以用Q 函数或者q 珀赫哈默尔符号描述 Q 1 Q 2 Q 3 1 displaystyle Q 1 Q 2 Q 3 1 证明 编辑考虑恒等式 q k 1 2 j 1 1 1 q j j 0 s k j m 1 1 s q m t j n 1 1 t q n t j 1 n 1 1 t q n displaystyle q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j sum j 0 infty s k j prod m 1 infty 1 sq m left t j prod n 1 infty 1 tq n t j 1 prod n 1 infty 1 tq n right nbsp 立刻就有 q k 1 2 j 1 1 1 q j j 0 1 t s k j t j m 1 1 s q m 1 t q m j 0 s k j t j m 1 1 s q m 1 t q m 1 displaystyle q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j sum j 0 infty 1 t s k j t j prod m 1 infty 1 sq m 1 tq m sum j 0 infty s k j t j prod m 1 infty 1 sq m 1 tq m 1 nbsp 考虑令u s t displaystyle u st nbsp 则原式可改写为 q k 1 2 j 1 1 1 q j s k j 0 u j m 1 1 s q m 1 u q m 1 s displaystyle q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j s k sum j 0 infty u j prod m 1 infty 1 sq m 1 uq m 1 s nbsp 因此 q k 1 2 j 1 1 1 q j s k m 1 1 s q m 1 s q m 1 displaystyle q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j s k prod m 1 infty 1 sq m 1 sq m 1 nbsp 利用对称性 令s 1 s displaystyle s 1 s nbsp 又有 q 1 k 2 j 1 1 1 q j s k m 1 1 s q m 1 q m 1 s displaystyle q begin pmatrix 1 k 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j s k prod m 1 infty 1 sq m 1 q m 1 s nbsp 再考虑对k displaystyle k nbsp 的双边无穷求和 k s k q k 1 2 j 1 1 1 q j m 1 1 s q m 1 q m 1 s displaystyle sum k infty infty s k q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod j 1 infty 1 1 q j prod m 1 infty 1 sq m 1 q m 1 s nbsp 因此 进一步地 k s k q k 1 2 m 1 1 q m 1 s q m 1 q m 1 s displaystyle sum k infty infty s k q begin pmatrix k 1 2 end pmatrix prod m 1 infty 1 q m 1 sq m 1 q m 1 s nbsp 令q q 2 displaystyle q q 2 nbsp 且s q z displaystyle sq z nbsp 恒等式得证 取自 https zh wikipedia org w index php title 雅可比三重乘积 amp oldid 59640147, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,