垂足三角形, 在幾何學上, 英語, pedal, triangle, 是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形, 三角形, 為黑色, 延伸出去的三條垂線為藍色, 由此得到的, 為紅色, 具體地說, 考慮一個三角形a, displaystyle, 選定一個異於頂點a, displaystyle, 的點p, displaystyle, 通過p, displaystyle, 對三角形的三邊做垂直線, 將這些垂直線與b, displaystyle, overleftrightarrow, overleftrightarr. 在幾何學上 垂足三角形 英語 Pedal triangle 是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形 三角形 ABC 為黑色 從 P 延伸出去的三條垂線為藍色 由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色 具體地說 考慮一個三角形A B C displaystyle ABC 選定一個異於頂點A B C displaystyle A B C 的點P displaystyle P 通過P displaystyle P 對三角形的三邊做垂直線 將這些垂直線與B C A C A B displaystyle overleftrightarrow BC overleftrightarrow AC overleftrightarrow AB 的交點分別命名為L M N displaystyle L M N 則三角形L M N displaystyle LMN 是一個垂足三角形 目录 1 性質 2 相關定理 2 1 西姆松定理 2 2 卡諾定理 3 反垂足三角形 4 參考資料性質 编辑如果A B C displaystyle ABC 不是鈍角三角形 則其垂足三角形L M N displaystyle LMN 的內角角度分別為180 2 A displaystyle 180 circ 2A 180 2 B displaystyle 180 circ 2B 180 2 C displaystyle 180 circ 2C 1 若P displaystyle P 點位於三角形A B C displaystyle ABC 的特殊中心上 則有一些特殊情況 若P displaystyle P 是A B C displaystyle ABC 的垂心 則L M N displaystyle LMN 是垂心三角形 英語 Orthic triangle 若P displaystyle P 是A B C displaystyle ABC 的內心 則L M N displaystyle L M N 是A B C displaystyle ABC 之內切圓的三個切點 若P displaystyle P 是A B C displaystyle ABC 的外心 則L M N displaystyle LMN 是中點三角形 若P displaystyle P 點以三角形A B C displaystyle ABC 為基準的三線坐標是p q r displaystyle p q r 則其垂足三角形的頂點L M N displaystyle L M N 坐標為 L 0 q p cos C r p cos B displaystyle L 0 q p cos C r p cos B M p q cos C 0 r q cos A displaystyle M p q cos C 0 r q cos A N p r cos B q r cos A 0 displaystyle N p r cos B q r cos A 0 相關定理 编辑 P 在外接圓上的情形 此時垂足三角形退化為一條線 紅色 卡諾定理 紅色區域與藍色區域的面積相等 西姆松定理 编辑 主条目 西姆松定理 若P displaystyle P 點位於A B C displaystyle ABC 的外接圓上 則L M N displaystyle L M N 共線 反之亦然 這條線被稱為垂足線 英語 Pedal line 又稱為西姆松線 英語 Simson line 卡諾定理 编辑 主条目 卡諾定理 垂線 A B C L M N displaystyle A B C L M N 六點滿足以下等式 2 A N 2 B L 2 C M 2 N B 2 L C 2 M A 2 displaystyle overline AN 2 overline BL 2 overline CM 2 overline NB 2 overline LC 2 overline MA 2 反垂足三角形 编辑 三角形 ABC 為紅色 從 P 延伸至頂點的三條線為藍色 由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色 過A displaystyle A 作一條垂直於P A displaystyle overline PA 的直線 過B displaystyle B 作一條垂直於P B displaystyle overline PB 的直線 過C displaystyle C 作一條垂直於P C displaystyle overline PC 的直線 則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形 英語 Antipedal triangle 在這個反垂足三角形中 設與A displaystyle A 相對的頂點為A displaystyle A prime 與B displaystyle B 相對的頂點為B displaystyle B prime 與C displaystyle C 相對的頂點為C displaystyle C prime A B C displaystyle ABC 是A B C displaystyle A prime B prime C prime 在P displaystyle P 點上的垂足三角形 這也是其名稱的由來 若P displaystyle P 點以三角形A B C displaystyle ABC 為基準的三線坐標是p q r displaystyle p q r 則反垂足三角形的頂點A B C displaystyle A prime B prime C prime 坐標為 3 A q p cos C r p cos B r p cos B p q cos C q p cos C p r cos B displaystyle A prime q p cos C r p cos B r p cos B p q cos C q p cos C p r cos B B r q cos A q p cos C r q cos A p q cos C p q cos C q r cos A displaystyle B prime r q cos A q p cos C r q cos A p q cos C p q cos C q r cos A C q r cos A r p cos B p r cos B r q cos A p r cos B q r cos A displaystyle C prime q r cos A r p cos B p r cos B r q cos A p r cos B q r cos A 一個特殊的例子是 如果P displaystyle P 點位於內心 則該反垂足三角形以A B C displaystyle ABC 的三個旁心為頂點 參考資料 编辑 Trigonometry Circles and Triangles The Pedal Triangle Wikibooks open books for an open world en wikibooks org 2020 10 31 原始内容存档于2021 08 22 Alfred S Posamentier Charles T Salkind Challenging problems in geometry New York Dover 1996 85 86 ISBN 9780486134864 OCLC 829151719 Weisstein Eric W 编 Antipedal Triangle at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 2021 08 22 原始内容存档于2021 08 22 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 垂足三角形 amp oldid 74740984, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,