內射維度、投射維度與同調維度

投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。

定義

以下設 ${\displaystyle A}$  為交換環，而 ${\displaystyle M}$  為 ${\displaystyle A}$ -模。

${\displaystyle M}$  的內射維度 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)}$  定義為其內射分解的最短長度（當 ${\displaystyle M=(0)}$  時置 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(0)=-\infty }$ ）。投射維度 ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)}$  則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設 ${\displaystyle n\geq 0}$  為整數，下述條件等價：

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)\leq n}$ 。
• 對所有 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0}$ 。
• 對所有理想 ${\displaystyle I\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0}$ 。
• 對所有正合序列 ${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0}$ ，若每個 ${\displaystyle I}$  都是內射模，則 ${\displaystyle Q}$  也是內射模。

命題二. 設 ${\displaystyle n\geq 0}$  為整數，下述條件等價：

• ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)\leq n}$ 。
• 對所有 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0}$ 。
• 對所有正合序列 ${\displaystyle 0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0}$ ，若每個 ${\displaystyle P}$  都是投射模，則 ${\displaystyle K}$  也是投射模。

當 ${\displaystyle A}$  為諾特環而 ${\displaystyle M}$  為有限生成 ${\displaystyle A}$ -模時，上述條件更等價於

• 對所有極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$ 
• 對所有極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$ 

由此可定義環 ${\displaystyle A}$  的同調維度 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)}$ 為：

• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}$ 
• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}$ 
• 存在 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle M,N}$  使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0}$  的最大整數 ${\displaystyle n}$ （可能是無窮大）。

性質

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

其中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  取遍 ${\displaystyle A}$  的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}}$  的上半連續函數。事實上，僅須考慮 ${\displaystyle M}$  的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)}$ 。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 ${\displaystyle A}$  為局部諾特環，${\displaystyle M}$  為有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其投射維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

定理：設 ${\displaystyle A}$  為局部諾特環，${\displaystyle M}$  為有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其內射維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環 ${\displaystyle A}$  是正則局部環的充要條件是 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)<+\infty }$ ，此時 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\dim A}$ 。

文獻

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6