同倫

同伦（英語：Homotopic^{[註 1]}）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

定义

 

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 ${\displaystyle X\,\!}$  和 ${\displaystyle Y\,\!}$ 。考慮兩個連續函數 ${\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ ，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 ${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$  使得：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$ 
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$ 

則稱${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle f,\,g}$ 之间的一个同倫^[1]:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個${\displaystyle x\in X\,\!}$ ，函數 ${\displaystyle H\,\!}$  定義一條連接 ${\displaystyle f(x)\,\!}$  與 ${\displaystyle g(x)\,\!}$ 的路徑：

${\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}$ 

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 ${\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}$ , ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$ , ${\displaystyle f(x)=1\,\!}$  及 ${\displaystyle g(x)=-1\,\!}$ 。則${\displaystyle f\,\!}$  與 ${\displaystyle g\,\!}$  透過下述函數在 ${\displaystyle Y\,\!}$  中同倫。

${\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}$ 

（注意到此例子不依賴於變數 ${\displaystyle x}$ ，通常並非如此。）

註：「在${\displaystyle Y}$ 中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$ 代為子空間${\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}$ ，則雖然${\displaystyle f\,\!}$  與 ${\displaystyle g\,\!}$ 仍取值在${\displaystyle Y'\,\!}$ ，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取${\displaystyle X=[0,1]\,\!}$ ,${\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}$ ,${\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}$  及 ${\displaystyle g(x)=0\,\!}$ 。则${\displaystyle f\,\!}$ 描繪一個以原點為圓心的單位圓； ${\displaystyle g\,\!}$ 停在原點。${\displaystyle f\,\!}$  與 ${\displaystyle g\,\!}$  透過下述連續函數同倫：

${\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}$ 

幾何上來看，對每個值${\displaystyle t\,\!}$ ，函數${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$ 描繪一個以原點為圓心，半徑 ${\displaystyle 1-t}$  的圓。

相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$ 是連續函數，固定子空間 ${\displaystyle K\subset X}$ ；若存在前述同倫映射 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$ ，滿足：

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}$ 
• ${\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}$ 

則稱 ${\displaystyle f,g}$  相對於 ${\displaystyle K}$  同倫。若取 ${\displaystyle K=\emptyset }$ ，則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價

給定兩個拓撲空間${\displaystyle E\,\!}$  與 ${\displaystyle F\,\!}$ ，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射${\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}$ 與${\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}$ ，使得：

• ${\displaystyle g\circ f\,\!}$  同倫到 ${\displaystyle E\,\!}$  的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ 。
• ${\displaystyle f\circ g\,\!}$  同倫到 ${\displaystyle F\,\!}$  的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$ 。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

• 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}$ ，即去掉一點的平面。
• 線段${\displaystyle [a,b]\,\!}$ 、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

同痕

同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數${\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$  和 ${\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$  是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此：${\displaystyle f\,\!}$  與 ${\displaystyle g\,\!}$ 被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$ 使之滿足：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$ 
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$ 
• 對所有${\displaystyle t\in [0,1]\,\!}$ ，映射${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$ 是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

注释

1. 源自希臘語：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希臘語：τόπος tópos，意为“方位”

参考

1. Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.  引文格式1维护：日期与年 (link)

參見

• Homeotopy（英语：Homeotopy）
• 庞加莱猜想
• 同倫範疇
• 同伦类型论
• 纤维-同伦等价（英语：Fiber-homotopy equivalence）
• 映射类群（英语：Mapping class group）
• 正则同伦（英语：Regular homotopy）