吉布斯采样

吉布斯采样（英語：Gibbs sampling）是统计学中用于马尔科夫蒙特卡洛（MCMC）的一种算法，用于在难以直接采样时从某一多变量概率分布中近似抽取样本序列。该序列可用于近似联合分布、部分变量的边缘分布或计算积分（如某一变量的期望值）。某些变量可能为已知变量，故对这些变量并不需要采样。

吉布斯采样常用于统计推断（尤其是贝叶斯推断）之中。这是一种随机化算法，与最大期望算法等统计推断中的确定性算法相区别。与其他MCMC算法一样，吉布斯采样从马尔科夫链中抽取样本，可以看作是Metropolis–Hastings算法的特例。

该算法的名称源于约西亚·威拉德·吉布斯，由斯图尔特·杰曼（英语：Stuart Geman）与唐纳德·杰曼（英语：Donald Geman）兄弟于1984年提出。^[1]

演算法

吉布斯采样适用于条件分布比边缘分布更容易采样的多变量分布。假设我们需要从联合分布 ${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$ 中抽取${\displaystyle \mathbf {X} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ 的${\displaystyle \left.k\right.}$ 个样本。记第${\displaystyle i}$ 个样本为${\displaystyle \mathbf {X} ^{(i)}=\left(x_{1}^{(i)},\dots ,x_{n}^{(i)}\right)}$ 。吉布斯采样的过程则为：

1. 确定初始值${\displaystyle \mathbf {X} ^{(1)}}$ 。
2. 假设已得到样本${\displaystyle \mathbf {X} ^{(i)}}$ ，记下一个样本为${\displaystyle \mathbf {X} ^{(i+1)}=\left(x_{1}^{(i+1)},x_{2}^{(i+1)},\dots ,x_{n}^{(i+1)}\right)}$ 。于是可将其看作一个向量，对其中某一分量${\displaystyle x_{j}^{(i+1)}}$ ，可通过在其他分量已知的条件下该分量的概率分布来抽取该分量。对于此条件概率，我们使用样本${\displaystyle \mathbf {X} ^{(i+1)}}$ 中已得到的分量${\displaystyle x_{1}^{(i+1)}}$ 到${\displaystyle x_{j-1}^{(i+1)}}$ 以及上一样本${\displaystyle \mathbf {X} ^{(i)}}$ 中的分量${\displaystyle x_{j+1}^{(i)}}$ 到${\displaystyle x_{n}^{(i)}}$ ，即${\displaystyle p\left(x_{j}^{(i+1)}|x_{1}^{(i+1)},\dots ,x_{j-1}^{(i+1)},x_{j+1}^{(i)},\dots ,x_{n}^{(i)}\right)}$ 。
3. 重复上述过程${\displaystyle k}$ 次。

在采样完成后，我们可以用这些样本来近似所有变量的联合分布。如果仅考虑其中部分变量，则可以得到这些变量的边缘分布。此外，我们还可以对所有样本求某一变量的平均值来估计该变量的期望。

参见

• 圖模式
• 马尔可夫链
• 马尔可夫逻辑网络

参考文献

1. Geman, S.; Geman, D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1984, 6 (6): 721–741. doi:10.1109/TPAMI.1984.4767596. 

• Bishop, Christopher M., Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006, ISBN 0-387-31073-8 
• Bolstad, William M. (2010), Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley ISBN 978-0-470-04609-8
• Casella, G.; George, E. I. Explaining the Gibbs Sampler. The American Statistician. 1992, 46 (3): 167. JSTOR 2685208. doi:10.2307/2685208. 
• Gelfand, Alan E.; Smith, Adrian F. M., Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities, Journal of the American Statistical Association, 1990, 85 (410): 398–409, JSTOR 2289776, MR 1141740, doi:10.2307/2289776 
• Gelman, A., Carlin J. B., Stern H. S., Dunson D., Vehtari A., Rubin D. B. (2013), Bayesian Data Analysis, third edition. London: Chapman & Hall.
• Levin, David A.; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth L. (2008), "", American Mathematical Society.
• Robert, C. P.; Casella, G. (2004), Monte Carlo Statistical Methods (second edition), Springer-Verlag.