史拉斯基定理

在概率論，史拉斯基定理將實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變量序列。^[1]

定理得名自尤金·史拉斯基。^[2]史拉斯基定理有時歸功於哈拉爾德·克拉梅爾。^{[註 1]}

敘述

設${\displaystyle (X_{n}),(Y_{n})}$ 為隨機純量、向量或矩陣序列。若${\displaystyle (X_{n})}$ 依分佈收斂至随机元素${\displaystyle X}$ ，且${\displaystyle (Y_{n})}$ 依概率收斂至常數${\displaystyle c}$ ，則

• ${\displaystyle (X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;}$ 
• ${\displaystyle (X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$ 
• ${\displaystyle (X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,}$    若c可逆，

其中${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ 表示依分佈收斂。

說明

1. ${\displaystyle (Y_{n})}$ 趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元，則定理不再成立。例如，設${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ，${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$ ，則對所有${\displaystyle n}$ ，皆有和${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$ 。再者，${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ，但${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$ 並不依分佈收斂至${\displaystyle X+Y}$ ，其中${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ，${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ，${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 獨立。^[3]
2. 若將定理中，所有「依分佈收斂」改成「依概率收斂」，則結論仍然成立。

證明

引用以下引理：若${\displaystyle (X_{n})}$ 依分佈收斂至${\displaystyle X}$ ，且${\displaystyle (Y_{n})}$ 依概率收斂至常數${\displaystyle c}$ ，則聯合向量${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ 依分佈收斂到${\displaystyle (X,c)}$ 。^[4]

現對上述依分佈的收斂使用連續映射定理。由${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ，${\displaystyle g(x,y)=xy}$ ，${\displaystyle h(x,y)=xy^{-1}}$ 定義的函數${\displaystyle f,g,h}$ 皆為連續函數（為使${\displaystyle h}$ 連續，要求${\displaystyle y}$ 可逆），故由連續映射定理，史拉斯基定理成立。

參見

• 隨機變數的收斂

註

1. 在Gut, Allan. Probability: a graduate course. Springer-Verlag. 2005. ISBN 0-387-22833-0. ，p.249的評注11.1中，此定理稱為克拉梅爾定理。

參考資料

1. Goldberger, Arthur S. Econometric Theory. New York: Wiley. 1964: 117–120 （英语）. 
2. Slutsky, E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925, 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03 （德语）. 
3. Zeng, Donglin. Large Sample Theory of Random Variables (lecture slides) (PDF). Advanced Probability and Statistical Inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Slide 59. Fall 2018 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)于2013-02-03） （英语）. 
4. van der Vaart, Aad W. Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press. 1998. ISBN 978-0-521-49603-2 （英语）.