连续映射定理

概率论中，连续映射定理（英語：Continuous mapping theorem）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ 那么 ${\displaystyle (x_{n})\rightarrow g(x)}$。连续映射定理指出，如果把确定的数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$替换为一列随机变量${\displaystyle \{x_{n}\}}$，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由Mann & Wald (1943)证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。^[1]

敍述

設${\displaystyle X_{n}\ (n=0,1,\ldots )}$ 和${\displaystyle X}$ 為度量空间${\displaystyle S}$ 中的随机元素，又設${\displaystyle g:S\to S'}$ 為自${\displaystyle S}$ 至另一個度量空間${\displaystyle S'}$ 的函數，其不连续点集${\displaystyle D_{g}}$ 滿足${\displaystyle \mathbb {P} (X\in D_{g})=0}$ ，則：^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}}$ 

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂、依概率收斂、殆必收斂。

参考資料

1. Amemiya 1985，第88頁 harvnb error: no target: CITEREFAmemiya1985 (help)
2. Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons. 1969: 31 (Corollary 1). ISBN 0-471-07242-7. 
3. Van der Vaart, A. W. . New York: Cambridge University Press. 1998: 7 (Theorem 2.3) [2022-05-02]. ISBN 0-521-49603-9. （原始内容存档于2020-07-28）.