可數鏈條件

在序理論中，若一個偏序集${\displaystyle X}$的所有強反鏈（英语：strong antichain）都是可數的，則說${\displaystyle X}$滿足可數鏈條件（Countable chain condition），而可數鏈條件又記做ccc。

綜觀

實際上可數鏈條件有兩種，一種是上升可數鏈條件（upwards countable chain condition），一種是下降可數鏈條件（downwards countable chain condition），這兩個條件並不等價，而一般而言可數鏈條件指的是下降可數鏈條件，換句話說也就是「沒有兩個元素有相同的最小下界」這條件。

這條件被稱為「可數鏈條件」而非更合乎邏輯的「可數反鏈條件」，是因為和拓樸空間與完備布爾代數的鏈相關歷史理由之故，而在拓樸空間與完備布爾代數中，這些鏈條件有時剛好和反鏈條件條件相同，比方說若${\displaystyle \kappa }$ 是一個基數，那麼在完備布爾代數中，任何的反鏈大小小於${\displaystyle \kappa }$ 的充要條件是若不存在元素的下降${\displaystyle \kappa }$ 序列，而在這種狀況下鏈條件與反鏈條件等價。

滿足可數鏈條件的偏序和空間被用於馬丁公理的陳述中。

在力迫理論中會用到滿足可數鏈條件的偏序，而這是因為對任何集合使用如此的序對，可以保持其基數及共尾性之故；此外，可數鏈條件在有限支撐迭代（詳情可見迭代力迫（英语：iterated forcing））中可得到保持。關於更多關於力迫中的可數鏈條件，可見力迫一文相關章節的說明。

更一般地，若${\displaystyle \kappa }$ 是一個基數，那麼在一個偏序集每個反鏈的大小都小於${\displaystyle \kappa }$ 的狀況下，會說這個偏序集滿足${\displaystyle \kappa }$ －鏈條件；而在這種狀況下，可數鏈條件即是${\displaystyle \aleph _{1}}$ －鏈條件，也就是可數鏈條件即是${\displaystyle \kappa =\aleph _{1}}$ 的${\displaystyle \kappa }$ －鏈條件。

拓樸學中的例子與性質

若說一個拓樸空間${\displaystyle X}$ 滿足可數鏈條件，或者所謂的蘇斯林（英语：Mikhail Yakovlevich Suslin）條件，就表示說${\displaystyle X}$ 的非空開子集的偏序集滿足可數鏈條件，也就是${\displaystyle X}$ 的非空開子集的所有的兩兩不交的搜集都是可數的，而這名稱的由來是蘇斯林問題。

• 所有的可分拓樸空間都滿足可數鏈條件，不僅如此，多至${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$ 個可分空間的積空間都是可分的且滿足可數鏈條件。
• 一個度量空間滿足可數鏈條件，當且僅當這空間是可分的。
• 一般而言，滿足可數鏈條件的拓樸空間未必是可分的，像例如說在積拓樸下，${\displaystyle \{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}}$ 這空間滿足可數鏈條件，但「不是」可分的。
• 滿足可數鏈條件的仿緊空間都是林德勒夫空間。

參考資料

• Jech, Thomas, Set Theory: Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7 
• Products of Separable Spaces, K. A. Ross, and A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)