双线性映射, 在数学中, 一个是由两个向量空间上的元素, 生成第三个向量空间上一个元素之函数, 并且该函数对每个参数都是线性的, 例如矩阵乘法就是一个例子, 定义, 编辑设v, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 和x, displaystyle, nbsp, 是在同一个基础域f, displaystyle, nbsp, 上的三个向量空间, 是函数, displaystyle, times, rightarrow, nbsp, 使得对于任何w, displaystyle,. 在数学中 一个双线性映射是由两个向量空间上的元素 生成第三个向量空间上一个元素之函数 并且该函数对每个参数都是线性的 例如矩阵乘法就是一个例子 定义 编辑设V displaystyle V nbsp W displaystyle W nbsp 和X displaystyle X nbsp 是在同一个基础域F displaystyle F nbsp 上的三个向量空间 双线性映射是函数 B V W X displaystyle B V times W rightarrow X nbsp 使得对于任何W displaystyle W nbsp 中w displaystyle w nbsp 映射 v B v w displaystyle v mapsto B left v w right nbsp 是从V displaystyle V nbsp 到X displaystyle X nbsp 的线性映射 并且对于任何V displaystyle V nbsp 中的v displaystyle v nbsp 映射 w B v w displaystyle w mapsto B v w nbsp 是从W displaystyle W nbsp 到X displaystyle X nbsp 的线性映射 换句话说 如果保持双线性映射的第一个参数固定 并留下第二个参数可变 结果就是线性算子 如果保持第二个参数固定也是类似的 如果V W displaystyle V W nbsp 并且有B v w B w v displaystyle B left v w right B left w v right nbsp 对于所有V displaystyle V nbsp 中的v w displaystyle v w nbsp 则我们称B displaystyle B nbsp 是对称的 当这里的X displaystyle X nbsp 是F displaystyle F nbsp 的时候 我们称之为双线性形式 它特别有用 参见例子标量积 内积和二次形式 如果使用在交换环R displaystyle R nbsp 上的模替代向量空间 定义不需要任何改变 还可容易的推广到n displaystyle n nbsp 元函数 这里正确的术语是 多线性 对非交换基础环R displaystyle R nbsp 和右模M R displaystyle M R nbsp 与左模R N displaystyle R N nbsp 的情况 我们可以定义双线性映射B M N T displaystyle B M times N rightarrow T nbsp 这里的T displaystyle T nbsp 是阿贝尔环 使得对于任何N displaystyle N nbsp 中的n m B m n displaystyle n m mapsto B left m n right nbsp 是群同态 而对于任何M displaystyle M nbsp 中的m n B m n displaystyle m n mapsto B left m n right nbsp 是群同态 并还满足 B m t n B m t n displaystyle B left mt n right B left m tn right nbsp 对于所有的M displaystyle M nbsp 中的m displaystyle m nbsp N displaystyle N nbsp 中n displaystyle n nbsp 和R displaystyle R nbsp 中的t displaystyle t nbsp 定义V displaystyle V nbsp W displaystyle W nbsp X displaystyle X nbsp 是有限维的 则L V W X displaystyle L left V W X right nbsp 也是有限维的 对于X F displaystyle X F nbsp 就是双线性形式 这个空间的维度是dim V dim W displaystyle dim V times dim W nbsp 尽管线性形式的空间L V W K displaystyle L left V times W K right nbsp 的维度是dim V dim W displaystyle dim V dim W nbsp 看得出来 选择V displaystyle V nbsp 和W displaystyle W nbsp 的基 接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵B e i f j displaystyle B e i f j nbsp 反之亦然 现在 如果X displaystyle X nbsp 是更高维的空间 我们明显的有dim L V W X dim V dim W dim X displaystyle dim L left V W X right dim V times dim W times dim X nbsp 例子 编辑矩阵乘法是双线性映射M m n M n p M m p displaystyle M m n times M n p rightarrow M m p nbsp 如果在实数R displaystyle mathbb R nbsp 上的向量空间V displaystyle V nbsp 承载了内积 则内积是双线性映射V V R displaystyle V times V rightarrow mathbb R nbsp 一般的说 对于在域F displaystyle F nbsp 上的向量空间V displaystyle V nbsp 在V displaystyle V nbsp 上的双线性形式同于双线性映射V V F displaystyle V times V rightarrow F nbsp 如果V displaystyle V nbsp 是有对偶空间V displaystyle V nbsp 的向量空间 则应用算子b f v f v displaystyle b f v f v nbsp 是从V V displaystyle V times V nbsp 到基础域的双线性映射 设V displaystyle V nbsp 和W displaystyle W nbsp 是在同一个基础域F displaystyle F nbsp 上的向量空间 如果f displaystyle f nbsp 是V displaystyle V nbsp 的成员而g displaystyle g nbsp 是W displaystyle W nbsp 的成员 则b v w f v g w displaystyle b v w f v g w nbsp 定义双线性映射V W F displaystyle V times W rightarrow F nbsp 在R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp 中叉积是双线性映射R 3 R 3 R 3 displaystyle mathbb R 3 times mathbb R 3 rightarrow mathbb R 3 nbsp 设B V W X displaystyle B V times W rightarrow X nbsp 是双线性映射 而L U W displaystyle L U rightarrow W nbsp 是线性算子 则 v u B v L u displaystyle v u rightarrow B v Lu nbsp 是在V U displaystyle V times U nbsp 上的双线性映射 零映射 定义于B v w o displaystyle B v w o nbsp 对于所有V W displaystyle V times W nbsp 中的 v w displaystyle v w nbsp 是从V W displaystyle V times W nbsp 到X displaystyle X nbsp 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射 实际上 如果 v w V W displaystyle v w in V times W nbsp 则B v w B v o B o w o o displaystyle B v w B v o B o w o o nbsp 参见 编辑张量积 多线性映射 半双线性形式 双线性滤波 取自 https zh wikipedia org w index php title 双线性映射 amp oldid 62487432, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,