加托導數

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义

假设 ${\displaystyle X}$  和 ${\displaystyle Y}$  是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），${\displaystyle U\subset X}$  是開集合(open set)，且 ${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$ 。 ${\displaystyle F}$  在點 ${\displaystyle u\in U}$  沿着 ${\displaystyle \psi \in X}$  方向的加托偏微分(Gâteaux differential) ${\displaystyle dF(u,\psi )}$  定义为

${\displaystyle dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}}$ 

如果极限存在。固定 ${\displaystyle u}$  若 ${\displaystyle dF(u,\psi )}$  对于所有 ${\displaystyle \psi \in X}$  都存在，则称 ${\displaystyle F}$  在 ${\displaystyle u\in U}$  是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 ${\displaystyle F}$  在 ${\displaystyle u}$  是加托可微，稱 ${\displaystyle dF(u,\cdot )}$  為在 ${\displaystyle u}$  的加托導數。

称 ${\displaystyle F}$  是在 ${\displaystyle U}$  中连续可微的若

${\displaystyle dF:U\times X\rightarrow Y}$ 

是连续的。

属性

若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个${\displaystyle u\in U}$ ，加托导数是一个算子${\displaystyle dF:X\rightarrow Y.}$ 。 该算子是齐次的，使得

${\displaystyle dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )\,}$ ，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子

令 ${\displaystyle X}$  为一个在欧几里得空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  勒贝格可测集 ${\displaystyle \Omega }$  上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說 ${\displaystyle X=\{u:\Omega \mapsto \mathbb {R} \mid \int _{\Omega }u^{2}<\infty ,\,\,\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  是勒貝格可測集 ${\displaystyle \}}$ 。泛函 ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {R} }$  由

${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx}$ 

给出，其中 ${\displaystyle F}$  是一个定義在實數上的可微实值函数且 ${\displaystyle F'=f\,}$  而 ${\displaystyle u}$  為定義在 ${\displaystyle \Omega }$  的實數值函數，则加托导数为

${\displaystyle dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),\quad \quad (f(u),\psi )}$  這符號代表 ${\displaystyle \int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx\,}$ .

更詳細的說：

${\displaystyle {\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)}$ 

${\displaystyle \quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)}$ 

${\displaystyle \quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.}$ 

令${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$  (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

${\displaystyle dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,}$ 

也就是，内积${\displaystyle (f(u),\psi ).\,}$ 

参看

• 导数 (推广)

参考

• R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913): 325–327. [2006-07-30]. （原始内容于2016-12-18） （法语）.