刚性方程

在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。

在積分微分方程時，若某一區域的解曲線（英语：Integral curve）的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題，一個有「剛性」，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是刚性系統。

範例

 

在求解一個刚性常微分方程時，用顯式方法出現的不穩定情形

考虑下面的初值问题：

${\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,\,y(0)=1}$ 

其精确解是

${\displaystyle y(t)=e^{-15t}}$ ，并且显然当${\displaystyle t\to \infty }$ 时${\displaystyle y(t)\to 0}$ 。

會希望数值解能够具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步长（step size）將會得到不同的結果。第一种，步长${\displaystyle h=1/4}$ 的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为${\displaystyle h=1/8}$ 时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡，并且不可能表示精确的解。

而梯形法，即两阶段亚丹士-莫耳吞法（英语：Linear multistep method），表达为

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{1 \over 2}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).}$ 

其求得的結果比欧拉法的結果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

特征

剛性系統的特色是該系統所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部絕對值中，最大和最小的比值远大于1。

龙格－库塔法

主条目：龍格－庫塔法

將龍格－庫塔法應用至測試方程${\displaystyle y'=k\cdot y}$ ，可以得到如${\displaystyle y_{n+1}=\phi (hk)\cdot y_{n}}$ 的形式，並可歸納出${\displaystyle y_{n}=(\phi (hk))^{n}\cdot y_{0}}$ ，其中${\displaystyle \phi }$ 稱為穩定性函數。因此${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=0}$ 的條件等價於${\displaystyle |\phi (hk)|<1}$ 。這啟發了絕對穩定區域（有時簡稱為穩定區域）的定義，亦即集合${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,|\phi (z)|<1\}}$ 。

若一個方法的穩定區域包含${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,\mathrm {Re} (z)<0\}}$ （即左半平面），則稱該方法為A-穩定（英语：A-stability）。

例子: 欧拉与梯度法

 

粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。

 

粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。

参见

• 顯式法及隱式法
• 条件数
• 微分包含式

参考资料

• Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
• Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
• Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部链接

• An Introduction to Physically Based Modeling: Energy Functions and Stiffness（页面存档备份，存于互联网档案馆）