梯形公式, 是數學中数值积分的基础公式之一, displaystyle, approx, frac, 線性函數, 紅色, 會作用估算函數f, displaystyle, 藍色, 目录, 公式由来, 复合求积公式, 每一區間相同, 每一區間並不相同, 誤差分析, 参考文献公式由来, 编辑由积分中值定理可得, displaystyle, exists, limits, nbsp, 但由于ξ其值一般难于确定, 故难以准确算出f, displaystyle, nbsp, 的值, 如果用两端点f, displaystyle,. 梯形公式是數學中数值积分的基础公式之一 a b f x d x b a f a f b 2 displaystyle int a b f x dx approx b a frac f a f b 2 線性函數 紅色 會作用估算函數f x displaystyle f x 藍色 目录 1 公式由来 2 复合求积公式 2 1 每一區間相同 2 2 每一區間並不相同 3 誤差分析 4 参考文献公式由来 编辑由积分中值定理可得 3 a b a b f x d x b a f 3 displaystyle exists xi in a b int limits a b f x dx b a f xi nbsp 但由于3其值一般难于确定 故难以准确算出f 3 displaystyle f xi nbsp 的值 如果用两端点f a displaystyle f a nbsp 与f b displaystyle f b nbsp 的算术平均值估算f 3 displaystyle f xi nbsp 有 a b f x d x b a 2 f a f b displaystyle int limits a b f x dx approx frac b a 2 f a f b nbsp 这就是梯形公式 类似地 如果用区间中点c a b 2 displaystyle c frac a b 2 nbsp 其高度f c displaystyle f c nbsp 取代f 3 displaystyle f xi nbsp 从而有中矩形公式 a b f x d x b a f a b 2 displaystyle int limits a b f x dx approx b a f frac a b 2 nbsp 复合求积公式 编辑每一區間相同 编辑 nbsp 梯形公式的示意圖 長度相同的區間 為了計算出更加準確的定積分 可以把積分的區間 a b displaystyle a b nbsp 分成N displaystyle N nbsp 份 當中N displaystyle N nbsp 趨向無限 分割出的每一個區間長度必定要是一樣的 然後就可以應用梯形公式 a b f x d x b a N f a f b 2 k 1 N 1 f a k b a N displaystyle int a b f x dx approx frac b a N left f a f b over 2 sum k 1 N 1 f left a k frac b a N right right nbsp 亦可以寫成 a b f x d x b a 2 N f x 0 2 f x 1 2 f x 2 2 f x N 1 f x N displaystyle int a b f x dx approx frac b a 2N left f x 0 2f x 1 2f x 2 cdots 2f x N 1 f x N right nbsp 當中 x k a k b a N for k 0 1 N displaystyle x k a k frac b a N text for k 0 1 dots N nbsp 其余项为R n f b a 12 h 2 f h h a b displaystyle R n f frac b a 12 h 2 f eta eta in a b nbsp 當區間的長度並不相同時 這一條公式便不能使用 每一區間並不相同 编辑 nbsp 梯形公式的示意圖 長度不相同的區間 給予x 1 x N displaystyle x 1 ldots x N nbsp 以及y 1 y N displaystyle y 1 ldots y N nbsp 定積分就可以估算成 a b f x d x 1 2 i 2 N x i x i 1 y i y i 1 displaystyle int a b f x dx approx frac 1 2 sum i 2 N x i x i 1 y i y i 1 nbsp 當中 y i f x i displaystyle y i f x i nbsp 誤差分析 编辑應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異 error a b f x d x b a N f a f b 2 k 1 N 1 f a k b a N displaystyle text error int a b f x dx frac b a N left f a f b over 2 sum k 1 N 1 f left a k frac b a N right right nbsp 如果 a b displaystyle a b nbsp 中存在一個實數3 displaystyle xi nbsp 那麼 error b a 3 12 N 2 f 3 displaystyle text error frac b a 3 12N 2 f xi nbsp 对于中矩形公式 其误差类似的有 error b a 3 24 f 3 displaystyle text error frac b a 3 24 f xi nbsp 如果被積函數是一個凸函數 亦即有一個正值二階導數 那麼誤差會是一個負數 也代表梯形公式的估算值高估了真實數字 這可以利用一個幾何圖形代去表達 梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍 同樣地 如果被積函數是一個凹函數 梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內 如果被積函數中有拐點 它的錯誤是比較難去估計 一般而言有數種方法可以去分析誤差 例如是 傅利葉級數 在N displaystyle N rightarrow infty nbsp 的情況下 趨向性的估計誤差是 error b a 2 12 N 2 f b f a O N 3 displaystyle text error frac b a 2 12N 2 big f b f a big O N 3 nbsp 参考文献 编辑 数值分析 清华大学出版社 李庆扬等编 书号ISBN 978 7 302 18565 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 梯形公式 amp oldid 75942601, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,