凸共轭

在数学中，凸共轭是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作Legendre–Fenchel变换，或者Fenchel变换，以阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre)和Werner Fenchel命名。

定义

函数${\displaystyle f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$ 在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：${\displaystyle f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}}$ 

这里，${\displaystyle X}$ 表示实賦範向量空間，${\displaystyle X^{*}}$ 表示${\displaystyle X}$ 的对偶空间。

映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$ 表示一个二次型，满足：对于${\displaystyle X^{*}}$ （${\displaystyle X}$ ）中任意非零元素${\displaystyle x^{*}}$ ，总能在${\displaystyle X}$ （对应地，${\displaystyle X^{*}}$ ）中找到一个元素${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle =0}$ 。

例子

1.仿射变换${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} }$ 

它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$ 

2.幂函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty }$ 

它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty }$  这里 ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$ 

3.绝对值变换${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$ 

它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$ 

4.指数函数 ${\displaystyle f(x)=\,\!e^{x}}$ 

它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$ 

性质

逆序性

如果${\displaystyle f\leq g}$ ，那么就有${\displaystyle g^{*}\leq f^{*}}$ 。这里的${\displaystyle f\leq g}$ 指，对定义域中所有元素${\displaystyle x}$ ，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ 成立。

半连续性与两次凸共轭

函数${\displaystyle f}$ 的凸共轭总具有半连续性，因此函数${\displaystyle f}$ 的两次共轭${\displaystyle f^{**}}$ 也具有半连续性。同时，${\displaystyle f^{**}}$ 还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足${\displaystyle f^{**}\leq f}$ 。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于proper的函数${\displaystyle f}$ ， ${\displaystyle f^{**}=f}$  当且仅当${\displaystyle f}$ 是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)}$  ， 这里${\displaystyle x\in X,p\in X^{*}}$ ，${\displaystyle f^{*}}$ 是${\displaystyle f}$ 的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ，${\displaystyle (0,1)}$ 间任意实数${\displaystyle \lambda }$ ，有：${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }}$  成立。

最小值卷积

对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为

${\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$ 

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

${\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}$ 

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和