准地转方程

地转运动是指由科里奥利力和水平压力梯度力之间的精确平衡产生的风， ^[1]准地转 (QG) 运动是指科里奥利力和压力梯度力几乎平衡的流动，但并不能排除惯性的影响。 ^[2]

起源

大气和海洋流动发生在水平长度尺度上，远大于垂直长度尺度，因此可以使用浅水方程来描述。罗斯贝数是一个无量纲数，它与科里奥利力的强度相比，表征惯性强度。准地转方程是小罗斯贝数极限下浅水方程的近似，因此惯性力比科里奥利力和压力小一个数量级。如果罗斯贝数等于 0，则准地转方程成为精确的地转方程。

准地转方程首先由儒勒·查尼提出。 ^[3]

单层 QG 方程的推导

在笛卡尔坐标中，地转风的分量是

${\displaystyle {f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}}$  (1a)

${\displaystyle {f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}}$  (1b)

其中${\displaystyle {\Phi }}$ 是位势高度。

地转涡度

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }}$ 

因此可以用位势高度表示为

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$  (2)

式（2）可用于从已知位势高度场${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$  找到${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$ 。也可以通过反转拉普拉斯算子从已知分布${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ 来确定${\displaystyle {\Phi }}$ 。

准地转涡度方程可由下式得到${\displaystyle {x}}$ 和${\displaystyle {y}}$ 准地转动量方程的分量，然后可以从水平动量方程导出：

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$  (3)

式（3）中的物质导数定义为

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$  (4)

其中${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$ 是运动后的压力变化。

水平速度${\displaystyle {\mathbf {V} }}$ 可以分为地转部分${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ 和非地转部分${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$ 

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$  (5)

准地转近似的两个重要假设是

1. ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$  ，或者，更准确地说${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{罗 斯 贝 数 }})}$  .

2. β平面近似：${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$ , ${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{罗 斯 贝 数 }})}}$ 

第二个假设证明，在地转近似中，让科里奥利参数具有恒定值${\displaystyle {f_{0}}}$ 是合理的，并通过${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$ 近似其在科里奥利力项中的变化 。 ^[4]但是，由于运动后的加速度（在（1）中作为科里奥利力和压力梯度力之间的差值给出）取决于实际风与地转风的偏离，因此不允许简单地替换科里奥利力这一项中的地转速度。 ^[4] （3）式中的加速度可以重写为

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$  (6)

因此，近似水平动量方程具有形式

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$  (7)

用其分量表达方程（7），

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$  (8a)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$  (8b)

我们进行${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$ ，并注意到地转风是无辐散的（即 ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$ )，可得涡量方程为

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=-f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$  (9)

因为${\displaystyle {f}}$ 只取决于${\displaystyle {y}}$  （亦即${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$ ) 并且地转风的散度基于连续性方程可以写成含${\displaystyle {\omega }}$ 的形式：

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$ 

因此式 (9) 可以化为

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$  (10)

引入位势倾向

定义位势倾向${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$ ，并且注意到偏微分可能被反转，等式（10）可以重写为${\displaystyle {\chi }}$ 的关系式

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$  (11)

等式（11）的右侧取决于变量${\displaystyle {\Phi }}$ 和${\displaystyle {\omega }}$  .依赖于这两个变量的类比方程可以从热力学能量方程导出

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$  (12)

其中${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$ 和${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ 是对应于基态温度的位温。在对流层中部，${\displaystyle {\Theta _{0}}}$  ≈ ${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$  .

将 (12) 乘以${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$ 并对${\displaystyle {p}}$ 微分，结合${\displaystyle {\chi }}$ 的定义可得

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$  (13)

简单起见，${\displaystyle {J}}$ 设为 0，消除 (11) 和 (13) 中的${\displaystyle {\omega }}$ 得出^[5]

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$  (14)

方程（14）通常被称为位势倾向方程。它将局部位势趋势（项 A）与涡度平流分布（项 B）和厚度平流（项 C）联系起来。

使用准地转位涡度的相同恒等式

使用微分的链式法则，C 项可以写为

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$  (15)

但基于热成风关系，

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$  .

换句话说， ${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$ 垂直于${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$ ，式（15）中的第二项消失。

第一项可以与式（14）中的项 B 组合，当除以${\displaystyle {f_{0}}}$ 可以用守恒方程的形式表示^[6]

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$  (16)

其中${\displaystyle {q}}$ 是由下式定义的准地转位涡

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$  (17)

方程(17)的三项从左到右分别是地转相对涡度、行星涡度和伸展涡度。

推论

当一个气团在大气中移动时，它的相对涡量、行星涡量和拉伸涡量可能会发生变化，但式（17）表明，随着地转运动，三者之和必须是守恒的。

式 (17) 可用于用已知高度场${\displaystyle {\Phi }}$ 找到${\displaystyle {q}}$ 。或者，它也可以用于预测给定初始分布的位势场的演变${\displaystyle {\Phi }}$ 和合适的边界条件通过使用反演过程。

更重要的是，准地转系统将五变量原始方程简化为一个方程系统，其中所有变量如${\displaystyle {u_{g}}}$ , ${\displaystyle {v_{g}}}$ 和${\displaystyle {T}}$ 可以从位涡${\displaystyle {q}}$ 或高度场${\displaystyle {\Phi }}$ 导出。

另外，因为${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ 和${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ 都被定义为${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$  ，涡量方程可用于诊断垂直运动，前提是两者的场${\displaystyle {\Phi }}$ 和${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$ 是已知的。

参考文献

1. Phillips, N.A. (1963). “Geostrophic Motion.” Reviews of Geophysics Volume 1, No. 2., p. 123.
2. Kundu, P.K. and Cohen, I.M. (2008). Fluid Mechanics, 4th edition. Elsevier., p. 658.
3. Majda, Andrew; Wang, Xiaoming. Nonlinear Dynamics and Statistical Theories for Basic Geophysical Flows. Cambridge University Press. 2006: 3. ISBN 978-1-139-45227-4. 
4. Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 149.
5. Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 157.
6. Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 160.