冷澤-提爾苓進動

冷澤-提爾苓進動（英語：Lense-Thirring Precession）或冷澤-提爾苓效應是由約瑟夫·冷澤（英语：Josef Lense）與漢斯·提爾苓（英语：Hans Thirring）兩位奧地利物理學家提出的相對論修正，有關於陀螺儀在巨大自轉物體（比如地球）旁做進動。其屬於重力磁性參考系拖曳的效應。根據近期由Pfister所做的分析^[1]，此效應應重新命名為愛因斯坦-冷澤-提爾苓進動。此效應為廣義相對論的預測。

德西特進動與冷澤-提爾苓進動之間的差別在於德西特進動為中央質量存在所造成的影響，而冷澤-提爾苓進動則是因為中央質量的旋轉。完整的進動計算則為兩項效應的總和。

數學推導

在得出冷澤-提爾苓進動關係式前，首先要先知道重力磁場。在旋轉星體赤道面的重力磁場為：

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\frac {3}{5}}R^{2}q{\Big (}{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {r}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{5}}}-{\frac {1}{3}}{\frac {\boldsymbol {\omega }}{r^{3}}}{\Big )}}$ 。

若採用

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=-4\int {\frac {\rho {\boldsymbol {u}}\,dV}{r}}}$ ，

可得

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\frac {12}{5}}R^{2}q{\Big (}{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {r}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{5}}}-{\frac {1}{3}}{\frac {\boldsymbol {\omega }}{r^{3}}}{\Big )}}$ 。

在觀察傅科擺時，我們只需考慮與地表垂直的分量，因此式子中的第一項消失，而半徑${\displaystyle r}$ 等於${\displaystyle R}$ ，還有${\displaystyle \theta }$ 是緯度：

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=-\left({\frac {1}{3}}{\frac {\boldsymbol {\omega }}{r^{3}}}\cos \theta \right)}$ 。

其絕對值因此是：

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=-{\frac {4}{5}}{\frac {{\boldsymbol {\omega }}mR^{2}}{r^{3}}}\cos \theta }$ 。

此為重力磁場。而我們知道局域慣性系角速度${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{LIF}}}$ 與重力磁場相關，因此地球的自轉導致了地球旁靜止系統的陀螺儀發生進動。此進動即為冷澤-提爾苓進動，其大小為：

${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}=-{\frac {2}{5}}{\frac {Gm\omega }{c^{2}R}}\cos \theta }$ 。

以荷蘭奈美根所在緯度51°50′0″N為例，冷澤-提爾苓進動的大小為：

${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}=-2.2\cdot 10^{-4}}$ 角秒/日。

地球上整體相對論效應造成的進動為德西特進動與冷澤-提爾苓進動的加總：

${\displaystyle \Omega _{\text{rel}}={\frac {3\pi Gm}{c^{2}r}}}$ 。

在此時率下，傅科擺要不停擺動超過16,000年才會進動1度。

相關條目

• 重力磁性
• 參考系拖曳
• 德西特進動
• 广义相对论的实验验证
• 测地线效应
• 引力磁学
• 克尔度规
• 相对论性喷流

參考資料

1. Pfister, H. On the history of the so-called Lense–Thirring effect. General Relativity and Gravitation. November 2007, 39 (11): 1735–1748. Bibcode:2007GReGr..39.1735P. doi:10.1007/s10714-007-0521-4.