克莱尼不动点定理

在数学中，序理论的 Kleene 不动点定理指出给定任何完全格 L 和任何具有斯科特连续性的函数

${\displaystyle f:L\to L,}$

${\displaystyle f}$的最小不动点${\displaystyle fix(f)}$存在，如果我们用${\displaystyle \bot }$来表示L内的最小元素，那么${\displaystyle fix(f)=\bigsqcup _{i\geq 0}f^{i}(\bot )}$

证明

我们首先定义集合${\displaystyle M=\{\bot ,f(\bot ),f^{2}(\bot ),\ldots \}}$ ，为了方便表示，我们用${\displaystyle m}$ 来表示集合${\displaystyle M}$ 中最大的元素，即${\displaystyle m=\bigsqcup M}$ 。我们想要证明${\displaystyle m}$ 为函数${\displaystyle f}$ 的最小不动点。

首先我们证明${\displaystyle m}$ 为函数${\displaystyle f}$ 的不动点。因为函数${\displaystyle f}$ 是斯科特连续的，所以我们有${\displaystyle f(m)=f(\sqcup M)=\sqcup (f(M)\cup \bot )=\bigsqcup M=m}$ 。

接下来我们证明${\displaystyle m}$ 为函数${\displaystyle f}$ 的最小不动点。假设函数${\displaystyle f}$ 存在另外一个不动点${\displaystyle x}$ ，因为${\displaystyle \bot \sqsubseteq x}$ , 且函数${\displaystyle f}$ 为单调函数（由于斯科特连续性），所以${\displaystyle f(\bot )\sqsubseteq f(x)=x}$ 。假设${\displaystyle m=f^{k}(\bot ),k\in \mathbb {N} }$ ， 根据数学归纳法，${\displaystyle f^{k}(\bot )\sqsubseteq f^{k}(x)=x}$ 。 即${\displaystyle m}$ 为函数${\displaystyle f}$ 的最小不动点。

参见

• 克纳斯特-塔斯基定理
• 其他不动点定理