克爾度規

廣義相對論中，克爾度規（英語：Kerr metric）或稱克爾真空（英語：Kerr vacuum），描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）週遭真空區域的時空幾何。其為廣義相對論的精確解（英语：Exact solutions in general relativity），故又稱克爾解；廣義相對論的主導方程式——愛因斯坦場方程式是非線性的，找出其精確解是相當困難的任務。

克爾度規是史瓦西度規（1915年）的推廣，後者用以描述靜態不旋轉、球對稱且不帶電荷的龐大物體週遭真空區域的時空幾何。在有帶電荷的情形，史瓦西度規轉成萊斯納-諾德斯特洛姆度規（1916年–1918年）。約瑟夫·冷澤（英语：Josef Lense）和漢斯·提爾苓（英语：Hans Thirring）曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到1963年方由羅伊·克爾提出精確解。^[1]，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导^[2]。

克爾度規的帶電荷版本為克爾-紐曼度規（1965年），以上四個相關的解可整理為如下表格：

	不旋轉 (J = 0)	旋轉 (J ≠ 0)
不帶電荷 (Q = 0)	史瓦西度規	克爾度規
帶電荷 (Q ≠ 0)	萊斯納-諾德斯特洛姆度規	克爾-紐曼度規

其中Q代表物體所帶電荷，而J代表物體的自轉角動量。

克尔度规的数学表示

若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}}$ 

${\displaystyle +\ \Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+\left(\Delta +{\frac {2Mr(r^{2}+a^{2})}{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

其中

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$ ,

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}}$ ,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

參看

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克尔-纽曼度规（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）

參考文獻

1. Kerr, Roy P. The World as a Hologram. Physical Review Letters. 1963, 11 (5): 237–238. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237. NASA ADS
2. Schiffer, M.M. et al., 1973, J. Math. Phys., 14, 52.

延伸閱讀

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-46136-8. 
• O'Neill, Barrett. The Geometry of Kerr Black Holes. Wellesley, MA: A. K. Peters. 1995. ISBN 978-1-56881-019-5. 
• D'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-859686-8.  See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford: Clarendon Press. 1992. ISBN 978-0-19-850370-5.  See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• Griffiths, J. B. Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 978-0-19-853209-5.  See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity Second Edition. New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 978-0-07-000423-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link) See chapter 7.
• Perez, Alejandro; and Moreschi, Osvaldo M. Characterizing exact solutions from asymptotic physical concepts. 2000. Dec 2000 arXiv:gr-qc/001210027 Dec 2000   请检查|arxiv=值 (帮助).  引文使用过时参数version (帮助) Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
• Sotiriou, Thomas P.; and Apostolatos, Theocharis A. Corrections and Comments on the Multipole Moments of Axisymmetric Electrovacuum Spacetimes. Class. Quant. Grav. 2004, 21: 5727–5733. arXiv eprint （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
• Penrose R. ed C. de Witt and J. Wheeler , 编. Battelle Rencontres. W. A. Benjamin, New York. 1968: 222. 
• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).
• B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26, 331, 1971