交运算

在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。

通常把 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的交指示为 ${\displaystyle x\land y}$。

偏序定义

设 A 是带有偏序 ${\displaystyle \leq }$  的一个集合，并设 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  是 A 中的两个元素。A 的一个元素 ${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:

1. ${\displaystyle z\leq x}$  且 ${\displaystyle z\leq y}$  (就是说，${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的下界)；

2. 对于 A 中的任何 ${\displaystyle w}$ ，使得 ${\displaystyle w\leq x}$  且 ${\displaystyle w\leq y}$ ，有着 ${\displaystyle w\leq z}$  (就是说，${\displaystyle z}$  大于任何其他 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的下界)。

如果有 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的交，则它的确是唯一的，因为如果 ${\displaystyle z}$  和 ${\displaystyle z'}$  都是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的最大下界，则 ${\displaystyle z\leq z'\leq z}$ ，因而 ${\displaystyle z=z'\,}$ 。如果交确实存在，它被指示为 ${\displaystyle x\land y}$ 。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  和 ${\displaystyle z}$ 

a. ${\displaystyle x\land y=y\land x}$  (交换律)，

b. ${\displaystyle x\land (y\land z)=(x\land y)\land z}$  (结合律)，

c. ${\displaystyle x\land x=x}$  (幂等律)。

泛代数定义

通过定义，在集合 A上的 二元运算 ${\displaystyle \land }$  是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,${\displaystyle \land }$ ) 就是交半格。此外，我们可以定义在 A 上二元关系 ${\displaystyle \leq }$ ，通过声称 ${\displaystyle x\leq y}$  当且仅当 ${\displaystyle x\land y=x}$ 。实际上，这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  和 ${\displaystyle z}$  有

${\displaystyle x\leq x}$ ，因为 ${\displaystyle x\land x=x}$ ，通过公理 c；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$  且 ${\displaystyle y\leq x}$  则 ${\displaystyle x=x\land y=y\land x=y}$ ，通过公理 a；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$  且 ${\displaystyle y\leq z}$  则 ${\displaystyle x\leq z}$ ，因为 ${\displaystyle x\land z=(x\land y)\land z=x\land (y\land z)=x\land y=x}$ ，通过公理 b 。

两个定义的等价性

如果 (A,${\displaystyle \leq }$ ) 是偏序集合，使得对于每对 A 中的元素都有交，则确实有 ${\displaystyle x\land y=x}$  当且仅当 ${\displaystyle x\leq y}$ ，因为在后者情况下 ${\displaystyle x}$  确实是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的下界，并且明显的 ${\displaystyle x}$  是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来，如果 (A,${\displaystyle \land }$ ) 是交半格，并且偏序 ${\displaystyle \leq }$  按泛代数方式定义，对于A 中某些元素 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  有 ${\displaystyle z=x\land y}$ ，则 ${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  关于 ${\displaystyle \leq }$  的最大下界，因为 ${\displaystyle z\land x=x\land z=(x\land x)\land y=z\;\Rightarrow \;z\leq x}$ ，类似的 ${\displaystyle z\leq y}$ ，并且如果 ${\displaystyle w}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的另一个下界，则 ${\displaystyle w\land x=w\land y=w}$ ，从而 ${\displaystyle w\land z=w\land (x\land y)=(w\land x)\land y=w\land y=w}$ 。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。

一般子集的交

如果 (A,${\displaystyle \land }$ ) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下，(A,${\displaystyle \leq }$ ) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。

参见

• 下确界
• 格 (数学)
• 偏序集合
• 并运算