如果一个分圆域,他们有额外的2-扭伽罗瓦群,那麽就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域(D-th roots of unity)。这表示一个事实,即二次域的前导子(conductor) 是判别式D的绝对赋值 (value) 。
参考文献
Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972.
I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.引文使用过时参数coauthors (帮助) Chapter 3.1.
一月 09, 2023
二次域, 在代數數論中, 是在有理數域q, displaystyle, mathbb, 上次數為二的數域, 可以唯一地表成q, displaystyle, mathbb, sqrt, 其中d, displaystyle, 無平方數因數, 若d, displaystyle, 稱之為實, 否則稱為虛或複, 虛實之分在於q, displaystyle, mathbb, sqrt, 是否為全實域的, 研究肇源甚早, 起初是作為二次型理論的一支, 是代數數論的基本對象之一, 雖然如此, 至今仍有一些未解猜想, 如類數問題, . 在代數數論中 二次域是在有理數域Q displaystyle mathbb Q 上次數為二的數域 二次域可以唯一地表成Q d displaystyle mathbb Q sqrt d 其中d displaystyle d 無平方數因數 若d gt 0 displaystyle d gt 0 稱之為實二次域 否則稱為虛二次域或複二次域 虛實之分在於Q d displaystyle mathbb Q sqrt d 是否為全實域二次域的 研究肇源甚早 起初是作為二次型理論的一支 二次域是代數數論的基本對象之一 雖然如此 至今仍有一些未解猜想 如類數問題 目录 1 整數環與判別式 2 二次域上的分歧理論 2 1 素p分圆域和二次域 2 2 其他的分圆域 3 参考文献整數環與判別式 编辑二次域K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d 裡的整數環O K displaystyle mathcal O K 定義為該域中的代數整數 當d 1 mod 4 displaystyle d equiv 1 mod 4 時 整數環可描述為Z 1 d 2 displaystyle mathbb Z frac 1 sqrt d 2 否則為Z d displaystyle mathbb Z sqrt d 當d 1 displaystyle d 1 時 這些整數稱為高斯整數 當d 3 displaystyle d 3 時 稱為艾森斯坦整數 根據上述描述 K displaystyle K 的判別式不難計算 當d 1 mod 4 displaystyle d equiv 1 mod 4 時判別式為d displaystyle d 否則則為4 d displaystyle 4d 二次域上的分歧理論 编辑設K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d p Z displaystyle p in mathbb Z 為素數 數論關注的問題是 p p O K displaystyle p p mathcal O K 如何在O K displaystyle mathcal O K 中分解成素理想之積 根據數域的分歧理論 應考慮以下情形 p displaystyle p 是慣性的 p O K displaystyle p mathcal O K 仍為素理想 此時O K p F p 2 displaystyle mathcal O K p simeq mathbb F p 2 p displaystyle p 分裂 p displaystyle p 為兩個相異素理想之積 此時O K p F p 2 displaystyle mathcal O K p simeq mathbb F p 2 p displaystyle p 分歧 p displaystyle p 為某個素理想之平方 此時O K p displaystyle mathcal O K p 含有非零的冪零元 根據之前對判別式的計算 可知p displaystyle p 分歧當且僅當p displaystyle p 整除K displaystyle K 的判別式 d displaystyle d 或4 d displaystyle 4d 取決於d mod 4 displaystyle d mod 4 對其餘無窮多個素數 前兩個情形皆會發生 而且其機率在某種意義上相等 素p分圆域和二次域 编辑 分圆域素p p 2 次根群所产生二次子域 也是伽罗瓦理论 埃瓦里斯特 伽罗瓦 的一个结论 在有理域上有惟一指数2Galois子群 二次域特例d 1时成称高斯整环 有判别式p的p 4N 1 P P 4N 3才有素分解 高斯整环分歧条件叫高斯周期 Gaussian period 其他的分圆域 编辑 如果一个分圆域 他们有额外的2 扭伽罗瓦群 那麽就至少包含三个二次域 一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域 D th roots of unity 这表示一个事实 即二次域的前导子 conductor 是判别式D的绝对赋值 value 参考文献 编辑Duncan Buell Binary quadratic forms classical theory and modern computations Springer Verlag 1989 ISBN 0 387 97037 1 Chapter 6 Pierre Samuel Algebraic number theory Hermann Kershaw 1972 I N Stewart D O Tall Algebraic number theory Chapman and Hall 1979 ISBN 0 412 13840 9 引文使用过时参数coauthors 帮助 Chapter 3 1 取自 https zh wikipedia org w index php title 二次域 amp oldid 74619889, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,