中立者函数

中立者函数是荷兰数学家Van de Corput引入的函数，定义如下^[1]

Neutralisers function

中立者函数一阶微商

中立者函数二阶微商

${\displaystyle q(x,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0,\end{cases}}}$

中立者函数${\displaystyle q(x,\alpha ,\beta )}$ 在${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$区间内无限可微分，与单位阶跃函数截然不同。

实例

令${\displaystyle p(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\exp(-1/x),&x>0,\end{cases}}}$

${\displaystyle q_{2}(x,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\{\frac {p(x-\alpha )}{p(x-\alpha )+p(x-\beta )}},&x>0,\end{cases}}}$

${\displaystyle q_{2}(x,\alpha ,\beta )=1-q_{2}(x,\alpha ,\beta )}$

参考文献

1. Norman Bleistein and Richard Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, p87, 1975, Dover