介值定理, 提示, 此条目的主题不是中值定理, 在数学分析中, 英語, intermediate, value, theorem, 又稱中間值定理, 描述了連續函數在兩點之間的連續性, 假設有一連續函數, displaystyle, mapsto, mathbb, 且假設, displaystyle, 若對任意數, displaystyle, 滿足, displaystyle, 則存在一點, displaystyle, 使得f, displaystyle, displaystyle, 時也有類似敘述, 直觀地比喻,. 提示 此条目的主题不是中值定理 在数学分析中 介值定理 英語 intermediate value theorem 又稱中間值定理 描述了連續函數在兩點之間的連續性 假設有一連續函數 f a b R displaystyle f a b mapsto mathbb R 且假設 f a lt f b displaystyle f a lt f b 若對任意數 u displaystyle u 滿足 f a lt u lt f b displaystyle f a lt u lt f b 則存在一點 c a lt c lt b displaystyle c a lt c lt b 使得f c u displaystyle f c u 當 f a gt f b displaystyle f a gt f b 時也有類似敘述 直觀地比喻 這代表在 a b displaystyle a b 區間上可以畫出一個連續曲線 而不讓筆離開紙面 或者可以這樣說 函數的圖像必然會穿過區間 a b displaystyle a b 中的每一個點 介值定理首先由伯纳德 波尔查诺在1817年提出和证明 在這個證明中 他附帶證明了波爾查諾 魏爾斯特拉斯定理 目录 1 定理 2 证明 3 與實數完備性的關係 4 零点定理 波尔查诺定理 5 现实世界中的意义 6 参见 7 参考资料 8 外部链接定理 编辑 介值定理圖解 假設I a b displaystyle I a b 是一個實數裡的闭区间 而f I R displaystyle f colon I rightarrow mathbb R 是連續函數 那麼其像集f I displaystyle f I 也是區間 它或者包含 f a f b displaystyle f a f b 如果f a f b displaystyle f a leq f b 或者包含 f b f a displaystyle f b f a 如果f b f a displaystyle f b leq f a 換言之 f I f a f b displaystyle displaystyle f I supseteq f a f b 或 f I f b f a displaystyle displaystyle f I supseteq f b f a 介值定理通常以下述等價的形式表述 假設f I R displaystyle f colon I rightarrow mathbb R 是連續函數 且實數u displaystyle u 滿足f a lt u lt f b displaystyle f a lt u lt f b 或f a gt u gt f b displaystyle f a gt u gt f b 則存在c a b displaystyle c in a b 使得f c u displaystyle f c u 证明 编辑先证明第一种情况f a lt u lt f b displaystyle f a lt u lt f b 第二种情况也类似 displaystyle 设S displaystyle S 为 a b displaystyle a b 内所有x displaystyle x 的集合 使得f x u displaystyle f x leqslant u 那么S displaystyle S 是非空的 因为a displaystyle a 是S displaystyle S 的一个元素 且S displaystyle S 是上有界的 其上界为b displaystyle b 于是 根据实数的完备性 最小上界c s u p displaystyle c mathrm sup S displaystyle S 一定存在 我们来证明f c u displaystyle f c u 假设f c gt u displaystyle f c gt u 那么f c u gt 0 displaystyle f c u gt 0 因此存在d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得当 x c lt d displaystyle left x c right lt delta 时 就有 f x f c lt f c u displaystyle left f x f c right lt f c u 因为f displaystyle f 是连续函数 但是 这样一来 当 x c lt d displaystyle left x c right lt delta 时 就有f x gt f c f c u u displaystyle f x gt f c f c u u 也就是说 对于 c d c d displaystyle c delta c delta 内的x displaystyle x f x displaystyle f x 皆 gt u displaystyle gt u 但參照上述定義 因为c s u p displaystyle c mathrm sup S displaystyle S 因此存在x c d c displaystyle x in c delta c 使得f x u displaystyle f x leqslant u 所以我们有 f x gt u displaystyle f x gt u 并且f x u displaystyle f x leqslant u 这显然是矛盾的 假设f c lt u displaystyle f c lt u 根据连续性 存在一个d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得当 x c lt d displaystyle left x c right lt delta 时 就有 f x f c lt u f c displaystyle left f x f c right lt u f c 那么对于 c d c d displaystyle c delta c delta 内的x displaystyle x 都有f x lt f c u f c u displaystyle f x lt f c u f c u 因此存在大于c displaystyle c 的x displaystyle x 使得f x lt u displaystyle f x lt u 这与c displaystyle c 的定义矛盾 因此f c u displaystyle f c u 與實數完備性的關係 编辑此定理仰賴於實數完備性 它對有理數不成立 例如函數f x x 2 2 displaystyle f x x 2 2 滿足f 0 2 f 2 2 displaystyle f 0 2 f 2 2 但不存在滿足f x 0 displaystyle f x 0 的有理數x displaystyle x 零点定理 波尔查诺定理 编辑零点定理是介值定理的一种特殊情况 如果曲線上兩點的值正負號相反 其間必定存在一個根 设函数f x displaystyle f x 在闭区间 a b displaystyle a b 上连续 且f a f b lt 0 displaystyle f a cdot f b lt 0 则必存在3 a b displaystyle xi in a b 使f 3 0 displaystyle f xi 0 成立 由於零点定理可用來找一方程式的根 也稱為勘根定理 伯纳德 波尔查诺於1817年證明了這個定理 同時證明了這個定理的一般情況 即介值定理 以現代的標準來說 他的證明並不算是非常嚴格 1 现实世界中的意义 编辑介值定理意味着在地球的任何大圆上 温度 压强 海拔 二氧化碳的浓度 或其他任何连续变化的变量 总存在两个对蹠点 在这两个点上该变量的值是相同的 证明 取f为圆上的任何连续函数 通过圆的中心作一条直线 与圆相交于点A和点B 设d为f A f B 的差 如果把这条直线旋转180度 将得到值 d 根据介值定理 一定存在某个旋转角 使得d 0 在这个角度上便有f A f B 这是一个更加一般的结果 博苏克 乌拉姆定理的特殊情况 参见 编辑中值定理 极值定理 達布定理参考资料 编辑 Weisstein Eric W 编 Bolzano s Theorem at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 外部链接 编辑cut the knot上的介值定理 波尔查诺定理 页面存档备份 存于互联网档案馆 埃里克 韦斯坦因 Intermediate Value Theorem MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 介值定理 amp oldid 74735611 零点定理 波尔查诺定理, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,