Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

定義

設 ${\displaystyle R}$  為環。令 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  為左 ${\displaystyle R}$ -模範疇、 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$  為右 ${\displaystyle R}$ -模範疇（若 ${\displaystyle R}$  為交換環，則兩者等價）。固定一對象 ${\displaystyle B\in R-\mathbf {Mod} }$ ，考慮函子

${\displaystyle T_{B}(-):=-\otimes _{R}B}$ 

這是從 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$  至阿貝爾群範疇 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$  的右正合函子（若 ${\displaystyle R}$  為交換環，則它是映至 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  的右正合函子），因此能考慮其左導函子 ${\displaystyle L_{\bullet }T_{B}}$ ，記為 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$ 。

換言之，對任一左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle A}$  取射影分解

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$ 

去掉尾項 ${\displaystyle A}$ ，並對 ${\displaystyle B}$  取張量積，得到鏈複形

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0}$ 

並取其同調群，則得到 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$ 

此外，Tor 函子也能以 ${\displaystyle A\otimes _{R}-}$  的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

性質

• Tor 函子與直和交換：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})}$ 

• 對任何 ${\displaystyle n\geq 1}$ ，${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}}$  是從 ${\displaystyle (\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$  的加法函子。若 ${\displaystyle R}$  是交換環，則它是從 ${\displaystyle (R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )}$  到 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$  的加法函子。
• 依據導函子性質，每個短正合序列 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$  導出長正合序列：

${\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots }$ 

對第二個變數亦同。

• 若 ${\displaystyle R}$  為交換環，${\displaystyle r\in R}$  非零因子，則

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}$ 

這是 Tor 函子的詞源。

• 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 ${\displaystyle n\geq 2}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0}$ 。

譜序列

設 ${\displaystyle A,B}$  為交換環，${\displaystyle M}$  為 ${\displaystyle B}$ -模，並固定一個環同態 ${\displaystyle A\to B}$ 。我們有雙函子的自然同構：

${\displaystyle (-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M}$ 

由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有譜序列

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)}$ 

與平坦模的關係

更多信息：平坦模

一個右 ${\displaystyle R}$ -模是平坦模的充要條件是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0}$ 。此時可推出 ${\displaystyle \forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0}$ 。左 ${\displaystyle R}$ -模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1