T-标准化

在统计学中，对一个样本统计量进行t-标准化（studentization，或直译为“学生化”）一般是指将其中心化之后，除以自身的标准差的变换方式。

广义的t-标准化，是指用其他样本矩来除该统计量。

t-标准化与标准化（standarization）最重要的区别是，标准化用真实的总体参数作除数，而t-标准化用可以观测到的样本统计量作除数。一般而言，标准化需要假设较多的已知信息。

例子

• 在对位置-尺度参数族的分布之总体均值进行估计的时候，经常用尺度参数的估计量来标准化位置参数的估计量。

例如，在估计正态分布 ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$  的位置参数 ${\displaystyle \mu }$  时，常用尺度参数 ${\displaystyle \sigma }$  的估计量来t-标准化位置参数的估计量，即：

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$ 

其中 ${\displaystyle S}$  是样本方差，注意应该用 ${\displaystyle S/{\sqrt {n}}}$  整体（又称“标准误差”）而不是 ${\displaystyle S}$  来估计 ${\displaystyle {\bar {X}}}$  的标准差。在这个例子里，如果对 ${\displaystyle \mathbb {E} [({\bar {X}})^{3}]}$  进行估计，并估计量的立方根代替 ${\displaystyle T}$  之表达式中的 ${\displaystyle S/{\sqrt {n}}}$  ，那么就做成一个广义的t-标准化。如果用真实的 ${\displaystyle \sigma }$  代替 ${\displaystyle S}$ ，那么就做成一个标准化。

• 对一般的参数估计，也可以进行t-标准化，例如总体分布具有参数 ${\displaystyle \theta }$  ，这里 ${\displaystyle \theta }$  既可以是一个参数模型的参数，例如 Exp${\displaystyle (\lambda )}$  中的 ${\displaystyle \lambda }$  ，也可以是一个非参数模型的泛函，例如一个所有矩存在的非参数模型的总体平均、总体方差等，可以考虑如下的t-标准化：

${\displaystyle T={\frac {{\hat {\theta }}-\theta }{\sqrt {{\widehat {\mathrm {V} ar}}({\hat {\theta }})}}}}$ 

分母的平方是对 ${\displaystyle {\mathrm {V} ar}({\hat {\theta }})}$  的良好估计，这个估计一般不容易得到，通行的做法是用一个经过仔细设计的重抽样方法做这个方差估计，例如Bootstrap、Jackknife等。

意义

t-标准化具有以下重要意义：

• 标准化所得到的估计量，其分布不再、或更少地依赖于总体分布的尺度参数。这样可以方便地进行统计推断，例如设计置信区间和统计检验。^[1][2]

• 在Bootstrap方法中，t-标准化具有特殊的重要意义。对经过t-标准化的统计量进行bootstrap，以更高阶的精确度对被估计的参数进行统计推断（如更精确地控制置信区间的置信水平，及更好地控制统计检验中的第一类错误概率），而对未经标准化的统计量直接进行bootstrap则只能有低阶精确度的统计推断。^[3]

不足

• 一般来说，t-标准化需要一个能够很好地估计待标准化统计量某个矩的估计量，设计这个估计量有时是很困难的，例如：观测到的是网络数据、或观测量间不是互相独立的（例如时间序列数据）。

• 除开简单的例子（例如正态分布），t-标准化后的统计量，其分布未必是容易计算或逼近的。

参考文献

1. Beran, Rudolf. Prepivoting Test Statistics: A Bootstrap View of Asymptotic Refinements. Journal of the American Statistical Association. 1988-09, 83 (403): 687. doi:10.2307/2289292. 
2. Beran, Rudolf. Prepivoting to Reduce Level Error of Confidence Sets. Biometrika. 1987-09, 74 (3): 457. doi:10.2307/2336685. 
3. Larry Wasserman. All of nonparametric statistics. Springer. ISBN 978-1-4419-2044-7.