Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系統分析（英语：system analysis）及控制理论的結果，其中提到：給定一數${\displaystyle \gamma >0}$，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若${\displaystyle (A,B)}$具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q

${\displaystyle A^{T}P+PA=-QQ^{T}}$

${\displaystyle PB-C={\sqrt {\gamma }}Q}$

存在的充份必要條件是

${\displaystyle \gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0}$

而且，集合${\displaystyle \{x:x^{T}Px=0\}}$是${\displaystyle (C,A)}$的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的线性矩阵不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich（英语：Vladimir Andreevich Yakubovich）寫出且證明^[1]，當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出^[2]。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的^[3]，而Vasile M. Popov（英语：Vasile Mihai Popov）也獨立得到相同結論^[4]。在^[5]中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理

給定${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}}$ ，其中 ${\displaystyle \det(j\omega I-A)\neq 0}$ 針對所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ，且${\displaystyle (A,B)}$ 有可控制性，則以下的敘述是等價的：

1. 針對所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ 

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0}$ 

2. 存在一矩陣${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ 使得${\displaystyle P=P^{T}}$ 且

   ${\displaystyle M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.}$ 

即使${\displaystyle (A,B)}$ 不具有可控制性，對應上式的嚴格不等式仍成立^[6]。

參考資料

1. Yakubovich, Vladimir Andreevich. The Solution of Certain Matrix Inequalities in Automatic Control Theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1962, 143 (6): 1304–1307. 
2. Kalman, Rudolf E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 1963, 49 (2): 201–205 [2019-01-04]. PMC 299777  . doi:10.1073/pnas.49.2.201. （原始内容 (PDF)于2015-09-24）. 
3. Gantmakher, F.R. and Yakubovich, V.A.,. Absolute Stability of the Nonlinear Controllable Systems, Proc. II All-Union Conf. Theoretical Applied Mechanics. Moscow: Nauka. 1964. 
4. Popov, Vasile M. Hyperstability and Optimality of Automatic Systems with Several Control Functions. Rev. Roumaine Sci. Tech. 1964, 9 (4): 629–890. 
5. Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L. Kalman-Popov-Yakubovich lemma and the S-procedure: A historical essay. Automation and Remote Control. 2006, 67 (11): 1768–1810. 
6. "Anders Rantzer". On the Kalman–Yakubovich–Popov lemma. Systems & Control Letters. 1996, 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.