Jury穩定性準則

Jury穩定性準則（Jury stability criterion）是在信号处理及控制理论中，判斷線性離散系統穩定性的方式，是利用分析特徵多項式來進行分析。Jury穩定性準則是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的離散時間版本。Jury稳定性判据要求系統的極點都要位在以原點為圓心的單位圓內，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系統的極點在複數平面的左半邊。Jury穩定性準則得名自伊拉克裔美籍工程師殷巴爾·易卜拉欣·朱瑞（英语：Eliahu Ibraham Jury）。

方法

系統的特徵多項式如下

${\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}}$ 

用以下的方式來建構表格^[1]：

row	z^n	z^n-1	z^n-2	z^....	z^1	z^0
1	a0	a1	a2	...	an-1	an
2	an	an-1	an-2	...	a1	a0
3	b0	b1	...	bn-2	bn-1
4	bn-1	bn-2	...	b1	b0
5	c0	c1	...	cn-2
6	cn-2	cn-3	...	c0
...	...	...	...	...	...	...
2n-5	p3	p2	p1	p0
2n-4	p0	p1	p2	p3
2n-3	q2	q1	q0

因此，第一行是多項式的係數，從常數項次而高次項次排列，第二行則是第一行的反序。

第三行是將第一行減去第二行乘以${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$ ，而第四行是第三行的反序（並且維持最後一個元素為零）。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}}$ 

表格繼續往下延伸，直到有一行只有一個非零元素為止。

針對頭兩行相減的係數是${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$ ，針對第三行及第四行相減的係數就變成${\displaystyle {\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}}$ ，因此所得的多項式會少一項。

穩定性測試

若${\displaystyle {a_{0}}>0}$ ，而${\displaystyle {a_{0}}}$ ,${\displaystyle {b_{0}}}$ ,${\displaystyle {c_{0}}}$ ...都是正值，表示系統的根都在單位圓內，系統穩定。只要上述有任何一個小於零，表示系統至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

若Jury穩定性準則發現${\displaystyle {a_{0}}}$ ,${\displaystyle {b_{0}}}$ ,${\displaystyle {c_{0}}}$ ...中有一個為負值，即可結束測試，因為至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

程式實現

此方式用電腦的動態陣列很容易實現。也可以確認系統所有的根（實根或是複數根）都在單位圓內。向量v是原多項式的係數，從最高項次到常數項。

 /* vvd is the jury array */  vvd.push_back(v); // Store the first row  reverse(v.begin(),v.end());  vvd.push_back(v); // Store the second row  for(i=2;;i+=2)  {  v.clear();  double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.  for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row  v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);  vvd.push_back(v);  reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row  vvd.push_back(v);  if(v.size()==1) break;  }  // Check is done using  for(i=0;i<vvd.size();i+=2)  {  if(vvd[i][0]<=0) break;  }  if(i==vvd.size())  "All roots lie inside unit disc "  else  "no" 

範例

若已知${\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )}$ 的分母多項式為${\displaystyle \mathrm {A} (\mathrm {z} )={\color {Blue}4z^{4}}-{\color {Brown}4z^{3}}+{\color {Brown}2z^{1}}-1}$ ，判斷該系統是否穩定。
解答:因為${\displaystyle \mathrm {A} (1)=4-4+2-1=1>0}$ 
${\displaystyle (-1)^{4}\mathrm {A} (-1)=4+4-2-1=5>0}$ 
將${\displaystyle \mathrm {A} (z)}$ 的係數排列成朱利表(如下):

row	z^4	z^3	z^2	z^1	z^0
1	4	-4	0	2	-1
2	-1	2	0	-4	4
3	15	-14	0	4
4	4	0	-14	15
5	209	-210	56

且${\displaystyle 4>\left|-1\right|}$ 
${\displaystyle 15>\left|4\right|}$ 
${\displaystyle 209>\left|56\right|}$ 
即滿足Jury穩定條件，因此${\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )}$ 所有極點位於${\displaystyle \left|z\right|<1}$ 內，故系統是穩定的。

相關條目

• 林纳德–奇帕特判据：由劳斯–赫尔维茨稳定性判据產生的另一個連續系統稳定性判据。

參考資料

1. Discrete-time control systems (2nd ed.), pg. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 ISBN 0-13-034281-5

若需要更多細節，可以參考以下連結：

• A note on the reduced Schur–Cohn criterionArchive.is的存檔，存档日期2013-06-28
• Wikibooks on Control Systems - Jury's Test （页面存档备份，存于互联网档案馆）

進階參考資料：

• (PDF). [2019-03-10]. （原始内容 (PDF)存档于2008-08-02）. 
• Benidir, M. On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle. Signal Processing. 1996, 53: 75. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1. 
• http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz （页面存档备份，存于互联网档案馆）

有關實現的資料：

• http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） (TI-83+/84+ graphing calculators)