Schouten, J. A., Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen, Indagationes Mathematicae, 1940, 2: 449–452.
十月 06, 2023
弗勒利歇尔, 奈恩黑斯括号, 在数学中, 弗勒利歇尔, 奈恩黑斯括号, frölicher, nijenhuis, bracket, 是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广, 它在研究联络, 特别是埃雷斯曼联络, 以及更一般的研究切丛的投影中很有用, 此括号由阿尔弗雷德, 弗勒利歇尔与阿尔伯特, 奈恩黑斯, 英语, albert, nijenhuis, 于1956年引入, 与斯豪滕1940年的工作有联系, 它与奈恩黑斯, 理查德森括号和斯豪滕, 奈恩黑斯括号相关但不是一回事, 目录, 定义, 形式环的导子. 在数学中 弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号 Frolicher Nijenhuis bracket 是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广 它在研究联络 特别是埃雷斯曼联络 以及更一般的研究切丛的投影中很有用 此括号由阿尔弗雷德 弗勒利歇尔与阿尔伯特 奈恩黑斯 英语 Albert Nijenhuis 于1956年引入 与斯豪滕1940年的工作有联系 它与奈恩黑斯 理查德森括号和斯豪滕 奈恩黑斯括号相关但不是一回事 目录 1 定义 2 形式环的导子 3 应用 4 参考文献定义 编辑设 W M 是光滑流形 M 上微分形式的外代数 这是一个分次代数 其次数由形式的阶数给出 W M k 0 W k M displaystyle Omega M bigoplus k 0 infty Omega k M nbsp 一个阶数为 ℓ 的分次导子是一个映射 D W M W l M displaystyle D Omega M to Omega l M nbsp 它对常数是线性的且满足 D a b D a b 1 ℓ deg a a D b displaystyle D alpha wedge beta D alpha wedge beta 1 ell deg alpha alpha wedge D beta nbsp 从而 特别地 关于一个向量的内乘定义了一个阶数 ℓ 1 的分次导子 而外导数是一个阶数 ℓ 1 的导子 记所有阶数为 ℓ 的导子的向量空间为 DerℓW M 这些空间的直和是一个分次向量空间其齐次分量由所有给定阶分次导数组成 记成 D e r W M k D e r k W M displaystyle mathrm Der Omega M bigoplus k infty infty mathrm Der k Omega M nbsp 这形成一个分次李代数 其李括号为导子的反交换子 在阶数分别为 d1 和 d2 的齐次导子 D1 和 D2 上的定义为 D 1 D 2 D 1 D 2 1 d 1 d 2 D 2 D 1 displaystyle D 1 D 2 D 1 circ D 2 1 d 1 d 2 D 2 circ D 1 nbsp 任何取值于 M 的切丛的向量值微分形式 K Wk M TM 定义了一个阶数 k 1 的分次导子 记作 iK 称为插入算子 对 w Wℓ M i K w X 1 X k ℓ 1 1 k ℓ 1 s S k ℓ 1 sign s w K X s 1 X s k X s k 1 X s k ℓ 1 displaystyle i K omega X 1 dots X k ell 1 frac 1 k ell 1 sum sigma in S k ell 1 textrm sign sigma cdot omega K X sigma 1 dots X sigma k X sigma k 1 dots X sigma k ell 1 nbsp 沿着 K Wk M TM 的 奈恩黑斯 李导数定义为 L K d i K d i K 1 k 1 i K d displaystyle mathcal L K d i K d circ i K 1 k 1 i K circ d nbsp 这里 d 是外导数而 iK 是插入算子 弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号定义为满足下式的惟一向量值微分形式 W k M T M W ℓ M T M W k ℓ M T M K L K L displaystyle cdot cdot Omega k M mathrm T M times Omega ell M mathrm T M to Omega k ell M mathrm T M K L mapsto K L nbsp 使得 L K L L K L L displaystyle mathcal L K L mathcal L K mathcal L L nbsp 如果 k 0 故 K W0 M TM 是一个向量场 得到了李导数的通常同伦公式 L K d i K d i K i K d displaystyle mathcal L K d i K d circ i K i K circ d nbsp ϕ X displaystyle phi otimes X nbsp 与 ps Y displaystyle psi otimes Y nbsp 这里 f 与 ps 是形式 X 与 Y 是向量场 的弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号的明确表达式为 ϕ X ps Y ϕ ps X Y ϕ L X ps Y L Y ϕ ps X 1 deg ϕ d ϕ i X ps Y i Y ϕ d ps X displaystyle left right phi otimes X psi otimes Y phi wedge psi otimes X Y phi wedge mathcal L X psi otimes Y mathcal L Y phi wedge psi otimes X 1 deg phi d phi wedge i X psi otimes Y i Y phi wedge d psi otimes X nbsp 形式环的导子 编辑W M 上任何导子 存在惟一元素 K 与 L 属于 W M TM 使得 i L L K displaystyle i L mathcal L K nbsp 这些导子的李括号如下给出 形为 L K displaystyle mathcal L K nbsp 的导子组成与所有 d 可交换的李超代数 其括号为 L K 1 L K 2 L K 1 K 2 displaystyle mathcal L K 1 mathcal L K 2 mathcal L K 1 K 2 nbsp dd 这里右边的括号是弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号 特别地弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号在 W M T M displaystyle Omega M mathrm T M nbsp 上定义了一个分次李代数结构 扩充了向量场的李括号 形为 i L displaystyle i L nbsp 的导子组成在函数 W0 M 上消没的李超代数 其括号为 i L 1 i L 2 i L 1 L 2 displaystyle i L 1 i L 2 i L 1 L 2 land nbsp dd 这里右边的括号是奈恩黑斯 理查德森括号 不同类型的导子之括号为 L K i L i K L 1 k l L i L K displaystyle mathcal L K i L i K L 1 kl mathcal L i L K nbsp dd 其中 K 属于 Wk M TM L 属于 Wl 1 M TM 应用 编辑殆复结构 J 的奈恩黑斯张量 是 J 与自己的弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号 一个殆复结构是复结构当且仅当奈恩黑斯张量是零 有了弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号可以定义一个向量值 1 形式 这是一个投影 的曲率与余曲率 这是联络的曲率概念之推广 斯豪滕 奈恩黑斯括号与弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号有一个一般的推广 细节请参见斯豪滕 奈恩黑斯括号一文 参考文献 编辑Frolicher A Nijenhuis A Theory of vector valued differential forms Part I Indagationes Mathematicae 1956 18 338 360 Frolicher A Nijenhuis A Invariance of vector form operations under mappings Communicationes Mathematicae Helveticae 1960 34 227 248 P W Michor Frolicher Nijenhuis bracket Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 Schouten J A Uber Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grossen Indagationes Mathematicae 1940 2 449 452 取自 https zh wikipedia org w index php title 弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号 amp oldid 78280998, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,