A公理

在数学中，斯梅尔A公理（Smale's axiom A）确定了一类相对容易理解的动力系统。一个著名的例子是斯梅尔马蹄铁映射。术语“A公理”是斯蒂芬·斯梅尔起的。

定义

设M是光滑流形，${\displaystyle f:M\to M}$ 是M到自身的微分同胚。以下两个条件合在一起称为A公理：

1. ${\displaystyle f}$ 的非游荡集${\displaystyle \Omega (f)}$ 是双曲的紧集。
2. ${\displaystyle f}$ 的周期点在${\displaystyle \Omega (f)}$ 中稠密。

满足A公理的微分同胚称为A公理微分同胚。若M是二维曲面，则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性，但对三维以上的流形则不成立。尽管如此，A公理微分同胚有时仍被称作双曲微分同胚，因为M上发生有趣的动力学的部分，即${\displaystyle \Omega (f)}$ ，表现出双曲的行为。

A公理微分同胚是莫尔斯-斯梅尔系统的推广，后者有更多的限制（有限的周期点，稳定、不稳定子流形的横截性）。斯梅尔马蹄铁映射是具有无限周期点和正的拓扑熵的A公理微分同胚。

性质

所有阿诺索夫微分同胚都满足A公理。对于这种情况，整个流形M就是双曲的（尽管还不知道非游荡集${\displaystyle \Omega (f)}$ 是否构成了整个M）。

Rufus Bowen证明了A公理微分同胚的非游荡集${\displaystyle \Omega (f)}$ 都有马尔可夫划分。

非游荡集中的周期点的稠密性蕴含了局部极大性：存在${\displaystyle \Omega (f)}$ 的开邻域U使得

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {Z} }{f^{n}(U)}=\Omega (f)}$ 

ω稳定性

A公理系统有一个重要的性质：对微小扰动的结构稳定性。就是说，对系统施加一个微小的扰动，扰动后的系统与未扰动的系统之间有一对一的拓扑对应，把扰动后系统的轨道变成未扰动系统的轨道。这个性质的重要性在于，它表明了A公理系统不是特例，在某种意义上是“普遍的”。

更精确地说，对${\displaystyle f}$ 的连续可微的扰动${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ ，非游荡集由两个紧致的${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ -不变子集${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ 组成。第一个子集同胚于${\displaystyle \Omega (f)}$ ，同胚映射h满足：

${\displaystyle f_{\varepsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f)}$ 

若${\displaystyle \Omega _{2}}$ 是空集，则h是到${\displaystyle \Omega (f_{\varepsilon })}$ 上的满射。若对任意扰动${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ 都是这种情况则称f是ω稳定的。微分同胚${\displaystyle f}$ 是ω稳定的当且仅当${\displaystyle f}$ 满足A公理与无环条件（轨道一旦离开某个不变子集就不再返回这个子集）。

参考资料

• Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
• Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
• Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.