ARMA模型

ARMA模型（英語：Autoregressive moving average model，全稱：自我迴歸滑動平均模型）。是研究时间序列的重要方法，由自迴歸模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自我迴歸AR(p)模型

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}$ 

自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。

其中：${\displaystyle c}$ 是常數項；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ 被假設為平均數等於0，標準差等於${\displaystyle \sigma }$ 的隨機誤差值；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ 被假設為對於任何的${\displaystyle t}$ 都不變。

移动平均MA(q)模型

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}$ 

移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

其中 μ 是序列的均值，θ₁,..., θ_q 是参数，ε_t , ε_t-1,..., ε_t−q 都是 白噪声。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

${\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\ }$ 

ARMA滞后算子表示法

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）${\displaystyle L}$  来表示，${\displaystyle L^{i}X_{t}=X_{t-i}}$ 。这样AR(p)模型可以写成为：

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$ 

其中${\displaystyle \varphi }$ 表示多项式

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$ 

MA(q)模型可以写成为：

${\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$ 

其中θ 表示多项式

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}$ 

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$ 

或者

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}$ 

若${\displaystyle \varphi (L)=1}$ ,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若${\displaystyle \theta (L)=1}$ ,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

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