向量自回归模型

向量自我迴歸模型（英語：Vector Autoregression model，简称VAR模型）是一种常用的计量经济模型，由计量经济学家和宏观经济学家克里斯托弗·西姆斯（英語：Christopher Sims）提出。它擴充了只能使用一個變量的自我迴歸模型（簡稱：AR模型），使容納大於1個變量，因此經常用在多變量時間序列模型的分析上。

定义

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。

一个VAR(p)模型可以写成为：

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},}$ 

其中：c是n × 1常数向量，A_i是n × n矩阵。e_t是n × 1误差向量，满足：

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$  —误差项的均值为0
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$  —误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n半正定矩阵）
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,}$  （对于所有不为0的k都满足）—误差项不存在自我相关

例子

一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$ 

或者也可以写为以下的方程组：

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$ 

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$ 

转换VAR(p)为VAR(1)

AR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。 比如AR(2)模型：

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$ 

可以转换成一个VAR(1)模型：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$ 

其中I是单位矩阵。

结构与简化形式

結構向量自我迴歸

一个结构向量自我迴歸（Structural VAR）模型可以写成为：

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$ 

其中：c₀是n × 1常数向量，B_i是n × n矩阵，ε_t是n × 1误差向量。

一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$ 

其中：

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\end{bmatrix}};}$ 

简化向量自我迴歸

把结构向量自我迴歸与B₀的逆矩阵相乘：

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$ 

让：

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,}$  ${\displaystyle B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}}$  对于 ${\displaystyle i=1,\cdots ,p\,}$  和 ${\displaystyle B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$ 

我们得到p-阶简化向量自我迴歸（Reduced VAR）：

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$ 

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