24点
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24点游戏（在香港也稱「合廿四」）J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。
有些组合有多种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。
较有难度的24点 编辑
虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。
分数或小数运算 编辑
虽然给出4个数字都是整数，中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1，5，5，5，其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外 一个例子是3，3，8，8，其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法，其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为：
| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
|---|---|---|---|
| 2, 4, 10, 10 | (2 + 4 ÷ 10)×10 | 2, 5, 5, 10 | (5 − 2 ÷ 10)×5 |
| 2, 7, 7, 10 | (2 + 10 ÷ 7)×7 | 3, 3, 7, 7 | (3 + 3 ÷ 7)×7 |
| 4, 4, 7, 7 | (4 − 4 ÷ 7)×7 | 2, 2, 11, 11 | (2 + 2 ÷ 11)×11 |
| 2, 2, 13, 13 | (2 − 2 ÷ 13)×13 | 1, 3, 4, 6 | 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4) |
| 2, 3, 5, 12 | 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2) | 1, 8, 12, 12 | 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) |
大数／奇数运算 编辑
大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：
| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
|---|---|---|---|
| 1, 3, 9, 10 | (1 + 10)×3 − 9 | 7, 8, 8, 10 | 10×8 − 7×8 |
| 9, 11, 12, 12 | 11×12 − 9×12 | 1, 2, 7, 7 | (7×7 − 1) ÷ 2 |
| 3, 8, 8, 10 | (8×10 − 8) ÷ 3 | 4, 8, 8, 11 | (8×11 + 8) ÷ 4 |
| 5, 10, 10, 13 | (10×13 − 10) ÷ 5 | 1, 5, 11, 11 | (11×11 - 1) ÷ 5 |
| 1, 6, 11, 13 | (11×13 + 1) ÷ 6 | 1, 7, 13, 13 | (13×13 − 1) ÷ 7 |
计算复杂性排行 编辑
下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合，完整的 566 组有解（多组解则取最简单的情况）情况如附录。
| 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1，3，4，6 | (6/(1-(3/4))) | 1，2，7，7 | (((7*7)-1)/2) | 3，3，7，7 | (((3/7)+3)*7) |
| 1，4，5，6 | (4/(1-(5/6))) | 3，5，10，10 | (3*(10-(10/5))) | 2，7，7，10 | (((10/7)+2)*7) |
| 3，3，8，8 | (8/(3-(8/3))) | 3，8，8，10 | (((10*8)-8)/3) | 2，2，7，10 | (((10/2)+7)*2) |
| 1，6，6，8 | (6/(1-(6/8))) | 4，4，10，10 | (((10*10)-4)/4) | 3，3，6，6 | (3*((6/3)+6)) |
| 1，4，5，6 | (6/((5/4)-1)) | 1，5，5，5 | ((5-(1/5))*5) | 2，4，10，10 | (10*((4/10)+2)) |
| 2，5，5，10 | ((5-(2/10))*5) | ||||
| 4，4，7，7 | ((4-(4/7))*7) |
24点的组合数学 编辑
其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出：
- 。
譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。
可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机的取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。
推广 编辑
24点游戏可以被推广到多张牌（n>4）的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的，也就是说，每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下，有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低，一共为如下37种。如果最大数值为13，则无解的总数扩大为80。
| 1 1 1 1 2 | 1 1 1 1 3 | 1 1 1 1 4 | 1 1 1 1 5 | 1 1 1 2 2 | 1 1 1 2 3 |
| 1 1 1 9 9 | 1 1 1 9 10 | 1 1 1 10 10 | 1 1 2 2 2 | 1 1 6 7 7 | 1 1 7 7 7 |
| 1 1 9 9 9 | 1 1 9 9 10 | 1 1 10 10 10 | 1 5 9 9 9 | 1 6 7 7 7 | 1 7 7 7 7 |
| 1 7 9 9 9 | 1 8 9 9 10 | 1 8 9 10 10 | 1 9 9 9 9 | 1 9 9 9 10 | 1 9 9 10 10 |
| 1 9 10 10 10 | 1 10 10 10 10 | 2 9 9 9 9 | 3 5 5 5 5 | 4 9 9 9 9 | 6 7 7 7 7 |
| 6 10 10 10 10 | 8 9 9 9 10 | 8 9 9 10 10 | 9 9 9 9 10 | 9 9 9 10 10 | 9 9 10 10 10 |
| 9 10 10 10 10 |
注意到，以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合，比如，5个1，这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。
在6张牌的情况下，4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下，所有组合方式（10890种）都有解。