梅滕斯猜想

梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被安德鲁·奥德里兹科（英语：Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（英语：Herman te Riele）于1985年证否。

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後，猜想${\displaystyle M(n)}$的絕對值恆小於${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否

定义

数论中，有梅滕斯函数

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$ 

其中，${\displaystyle \mu (k)}$ 表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指，对所有${\displaystyle n>1}$ ，有

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$ 

猜想的證否

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是${\displaystyle m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}}$ 有界，但其結果沒有發表^[1]（若用${\displaystyle m(n)}$ 的方式表示，梅滕斯猜想是指${\displaystyle -1<m(n)<1}$ ）

安德鲁·奥德里兹科（英语：Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（英语：Herman te Riele）在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是LLL格缩减算法（英语：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）^[2][3]：

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.009\quad }$  and ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.06~}$ 

之後也證實了第一個反例小於 ${\displaystyle ~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~}$ ^[4]，大於10^16[5]，後來的上限已降到${\displaystyle ~e^{1.59\times 10^{40}}~}$ ^[6]或近似${\displaystyle ~10^{6.91\times 10^{39}}~,}$ ，但還沒找到確切的反例數值。

參考資料

1. Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (编). The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics. New York, NY: 施普林格科学+商业媒体. 2007: 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Zbl 1132.11047. 
2. Odlyzko & te Riele (1985)
3. Sandor et al (2006) pp.188–189
4. Pintz (1987)
5. Hurst, Greg. Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture. 2016. arXiv:1610.08551   [math.NT]. 
6. Kotnik and Te Riele (2006)

参考文献

• T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited^{[永久失效連結]}", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
• T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
• F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2012-09-08], ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR783538, （原始内容 (PDF)于2015-09-12） 
• Stieltjes, T. J., Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79, Baillaud, B.; Bourget, H. (编), Correspondance d’Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier—Villars: 160–164, 1905 
• 埃里克·韦斯坦因. Mertens conjecture. MathWorld. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag: 187–189, 2006, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300 
• Pintz, J. An effective disproof of the Mertens conjecture (PDF). Astérisque. 1987,. 147–148: 325–333 [2021-10-16]. Zbl 0623.10031. （原始内容 (PDF)于2021-04-15）.