高階弦波輸入描述函數

高階弦波輸入描述函數簡稱HOSIDF，最早是由P.W.J.M. Nuij^[1]開始使用的^[2]。是弦波輸入描述函數的延伸^[3]，描述在弦波輸入信號，系統在各諧波的響應（增益及相位）。HOSIDF和經典的频率响应函數有直觀上的相似性，定義一個穩定、因果、时不变的非線性系統在以下弦波輸入下的週期性輸出：

${\displaystyle u(t)=\gamma \sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})}$

輸出為${\displaystyle y(t)}$，包括輸入頻率的諧波：

${\displaystyle y(t)=\sum \limits _{k=0}^{K}|H_{k}(\omega _{0},\gamma )|\gamma ^{k}\cos {\big (}k(\omega _{0}t+\varphi _{0})+\angle H_{k}(\omega _{0},\gamma ){\big )}}$

定義輸入及輸出信號的單邊頻譜為${\displaystyle U(\omega )}$及${\displaystyle Y(\omega )}$，使得 ${\displaystyle |U(\omega _{0})|=\gamma }$，可以得到k階HOSIDF的定義：

${\displaystyle H_{k}(\omega _{0},\gamma )={\frac {Y(k\omega _{0},\gamma )}{U^{k}(\omega _{0},\gamma )}}}$

好處及應用

HOSIDF的應用及分析在已識別非線性模型時有其優勢，若完全不知道其模型，也有其優勢。後者的優勢在於HOSIDF不太需要對系統有所假設，在不使用先進數學工具的情形下可以輕鬆進行識別。就算已識別出非線性模型，HOSIDF仍比使用已識別的非線性模型要好。HOSIDF在其識別及解释上是直觀的，而其他非線性模型會受實際系統特性，只能收到有限的直接資訊。而且在非線性無法忽略的應用中，HOSIDF是描述函數很自然的延伸。實務上HOSIDF有二個不同的應用：因為在識別上的容易，HOSIDF可以在系統設計時提供在線的測試。而將HOSIDF應用在非線性控制器設計，會較傳統的時域調適效果有顯著的提昇。

參考資料

1. dr. ir. P.W.J.M. Nuij
2. P.W.J.M. Nuij, O.H. Bosgra, M. Steinbuch, Higher Order Sinusoidal Input Describing Functions for the Analysis of Nonlinear Systems with Harmonic Responses, Mechanical Systems and Signal Processing, 20(8), 1883–1904, (2006)
3. Gelb, A., and W. E. Vander Velde: Multiple-Input Describing Functions and Nonlinear System Design, McGraw Hill, 1968.