高阶范畴

数学中，高阶范畴是范畴论在高阶下的情形，一些等式可写成箭头，以便能明确地研究等式背后的结构。高阶范畴论常应用于代数拓扑学（特别是同伦论），用于研究拓扑空间的代数不变量，如其基本弱准范畴。

严格高阶范畴

一个平凡范畴拥有物件与态射两类组分，在高阶范畴论背景下，这些对象统称为1-态射。2-范畴在1-态射间加入了2-态射，这样往复下去，直到范畴包含(n-1)-态射与其间的n-态射，便得到了n范畴。

以记为Cat的范畴为例，其是包含所有小范畴和函子的范畴，实际上是个以自然变换为2-态射的2-范畴。同理，包含所有（小）n-范畴的n-Cat实际上是(n+1)-范畴。

n-范畴的定义通过对n的归纳来实现：

• 0-范畴是集合，
• (n+1)-范畴是n-Cat的增广。

所以，1-范畴只是局部小范畴（locally small category）。

Set的幺半范畴结构以笛卡儿积为张量，以单元素为单元。事实上任何具有有限积的范畴都可赋予幺半结构。n-Cat的递归构造很好用，因为如果一个范畴${\displaystyle C}$ 具有有限积，则增广${\displaystyle C}$ 范畴也具有有限积。

虽然这个概念对同伦论等的某些目的来说过于严格，因为在同伦论中，“弱”结构以更高范畴的形式展现，^[1]但也出现了严格立方高阶同伦广群，其在同调和同伦的边界上为代数拓扑提供了新的基础，参见下面书中提到的非阿贝尔代数拓扑这篇文章。

弱高阶范畴

主条目：弱n-范畴

在弱n-范畴中，结合性和同一性的条件不再严格（即不再由等价性得出），而是在下一层的同构之前得到满足。拓扑学中的一个例子是道路的构成，其中的同一性和结合性只在重参数化时成立，因此也只在同伦时成立，这就是这个2-范畴的2-同构。这些n-同构必须在态射集间有很好的表现，弱n-范畴在表达这一点上存在困难。弱2-范畴也称作双范畴，是第一个有明确定义的。它们的一个特殊性是，只有一个物件的双范畴其实就是幺半范畴，所以双范畴也可以说是“有许多物件的幺半范畴”。弱3-范畴也称作三范畴，再往上泛化，定义会越来越难明确。高阶范畴互相等价的条件与意义，已经成为范畴论中新的研究对象。

准范畴

主条目：准范畴

准范畴是满足弱Kan条件的单纯集合。André Joyal指出它们是高阶范畴论的良好基础。2009年，该理论得到了雅各·卢里的进一步系统化，他简单将它们统称为无穷范畴，尽管后者也是对任何k的${\displaystyle (\infty ,\ k)-}$ 范畴的所有模型的一个通用术语。

简单增广范畴

主条目：简单增广范畴

简单增广范畴，或称简单范畴，是在简单集合上增广得到的范畴。但如果看成是${\displaystyle (\infty ,\ 1)-}$ 范畴，那么许多范畴相关的概念（如极限 (范畴论)）便与增广范畴的相应概念不一致。对其他增广模型，如拓扑增广范畴来说也是如此。

拓扑增广范畴

主条目：拓扑范畴

拓扑增广范畴，或称拓扑范畴，是在拓扑空间的一些小范畴上增广来的范畴，如紧生成豪斯多夫空间。

西格尔范畴

主条目：西格尔范畴

这是由Hirschowitz和Simpson在1998年引入的高阶范畴模型，^[2]部分是受Graeme Segal于1974年的结果启发。

另见

•  数学主题

• 范畴化
• 高维代数
• 抽象废话
• 范畴化

注释

1. Baez & Dolan 1998，第6頁
2. Hirschowitz, André; Simpson, Carlos. Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks). 2001. arXiv:math/9807049  . 

参考文献

• Baez, John C.; Dolan, James. Categorification. 1998. arXiv:math/9802029  . 
• Leinster, Tom. Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. 2004. ISBN 0-521-53215-9. arXiv:math.CT/0305049  . 
• Simpson, Carlos. Homotopy theory of higher categories. 2010. arXiv:1001.4071   [math.CT].  Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)

• Lurie, Jacob. Higher Topos Theory. Princeton University Press. 2009. ISBN 978-0-691-14048-3. arXiv:math.CT/0608040  .  As PDF.
• nLab, the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
• Joyal's Catlab, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael. Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Tracts in Mathematics 15. European Mathematical Society. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8. 

外部链接

维基共享资源中相关的多媒体资源：高阶范畴

• Baez, John. Week 73: Tale of n-Categories. 1996-02-24. 
• The n-Category Cafe — a group blog devoted to higher category theory.
• Leinster, Tom. A Perspective on Higher Category Theory. 8 March 2010.