高斯和

在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為

${\displaystyle G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)}$

其中 ${\displaystyle R}$ 為有限交換環，${\displaystyle \psi :(R,+)\to \mathbb {S} ^{1}}$ 為同態，${\displaystyle \chi :(R^{\times },*)\to \mathbb {S} ^{1}}$ 亦為同態，對於 ${\displaystyle r\notin R^{\times }}$，可定義 ${\displaystyle \chi (r)=0}$。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 ${\displaystyle R:=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$，特徵 ${\displaystyle \psi }$ 必為 ${\displaystyle \psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}}$ 之形式（${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$），此處的 ${\displaystyle \chi }$ 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 ${\displaystyle \tau _{\alpha }(\chi )}$，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$，其中 ${\displaystyle p}$ 為素數，並取 ${\displaystyle \chi (x):=\left({\frac {x}{p}}\right)}$ 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：

${\displaystyle \tau _{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}e^{2\pi i\alpha x^{2}/p}}$

高斯得到的結果是：

${\displaystyle \tau _{\alpha }={\begin{cases}\left({\frac {\alpha }{p}}\right){\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\\left({\frac {\alpha }{p}}\right)i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。

文獻

• Ireland and Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. 1990. ISBN 0-387-97329-X. 
• B.M. Bredikhin, Gauss sum, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4