馬爾可夫不等式, 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑, 2012年9月2日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 在概率论中, 马尔可夫不等式, 英語, markov, inequality, 给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界, 虽然它以俄国数学家安德雷, 马尔可夫命名, 但该不等式曾出现在一些更早的文献中, 其中包括马尔可夫的老师, 巴夫尼提, 列波维奇, 切比雪夫, 马尔可夫不等式提供了f, displaystyle, 超過某特定數值ϵ, displayst. 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2012年9月2日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 在概率论中 马尔可夫不等式 英語 Markov s inequality 给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界 虽然它以俄国数学家安德雷 马尔可夫命名 但该不等式曾出现在一些更早的文献中 其中包括马尔可夫的老师 巴夫尼提 列波维奇 切比雪夫 马尔可夫不等式提供了f x displaystyle f x 超過某特定數值ϵ displaystyle epsilon 圖中標示紅色線處 機率的上界 其上界包括了特定數值ϵ displaystyle epsilon 及f displaystyle f 的平均值 马尔可夫不等式把概率关联到数学期望 给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界 马尔可夫不等式的一个应用是 不超过1 5的人口会有超过5倍于人均收入的收入 目录 1 表达式 1 1 对于单调增加函数的扩展版本 2 证明 3 用來推导柴比雪夫不等式 4 矩陣形式的馬可夫不等式 5 應用實例 6 参见 7 參考資料表达式 编辑X为一非负随机变量 则 P X a E X a displaystyle mathrm P X geq a leq frac mathrm E X a 1 若用測度領域的術語來表示 馬爾可夫不等式可表示為若 X S m 是一個測度空間 ƒ為可测的扩展实数的函數 且ϵ 0 displaystyle epsilon geq 0 則 m x X f x ϵ 1 ϵ X f d m displaystyle mu x in X f x geq epsilon leq 1 over epsilon int X f d mu 有時上述的不等式會被稱為切比雪夫不等式 2 对于单调增加函数的扩展版本 编辑 若f 是定义在非负实数上的单调增加函数 且其值非负 X 是一个随机变量 a 0 且f a gt 0 则 P X a E f X f a displaystyle mathbb P X geq a leq frac mathbb E varphi X varphi a 证明 编辑E X x f x d x 0 x f x d x a x f x d x a a f x d x a a f x d x a P X a displaystyle begin aligned textrm E X amp int infty infty xf x dx amp int 0 infty xf x dx 6pt amp geqslant int a infty xf x dx 6pt amp geqslant int a infty af x dx 6pt amp a int a infty f x dx 6pt amp a textrm P X geqslant a end aligned 用來推导柴比雪夫不等式 编辑切比雪夫不等式使用變異數來作為一隨機變數超過平均值機率的上限 可以用下式表示 Pr X E X a Var X a 2 displaystyle Pr X textrm E X geq a leq frac textrm Var X a 2 對任意a gt 0 Var X 為X的變異數 定義如下 Var X E X E X 2 displaystyle operatorname Var X operatorname E X operatorname E X 2 若以马尔可夫不等式為基礎 切比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量 X E X 2 displaystyle X operatorname E X 2 根據马尔可夫不等式 可得到以下的結果 Pr X E X 2 a 2 Var X a 2 displaystyle Pr X operatorname E X 2 geq a 2 leq frac operatorname Var X a 2 矩陣形式的馬可夫不等式 编辑令M 0 displaystyle M succeq 0 為自共軛矩陣形式的隨機變數 且a gt 0 displaystyle a gt 0 則 Pr M a I t r E M a displaystyle Pr M npreceq a cdot I leq frac mathrm tr left E M right a 應用實例 编辑馬爾可夫不等式可用來證明切比雪夫不等式 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變數 其平均值m displaystyle mu 和中位數m displaystyle m 滿足m 2 m displaystyle m leq 2 mu 的關係 参见 编辑切比雪夫不等式參考資料 编辑 Sheldon M Ross Introduction to probability and statistics for engineers and scientists Academic Press 2009 第127頁 ISBN 9780123704832 E M Stein R Shakarchi Real Analysis Measure Theory Integration amp Hilbert Spaces vol 3 1st ed 2005 p 91 取自 https zh wikipedia org w index php title 馬爾可夫不等式 amp oldid 71277619, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,