顺序统计量

在统计学中，样本的第${\displaystyle k}$顺序统计量（英語：Order Statistics）即它从小到大排列时的第${\displaystyle k}$个值，常用于非参数估计与推断中。常见的顺序统计量包括样本的最大值、最小值、中位数等。

记号

任给样本${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ，将其从小到大排成一列，记为：

$${\displaystyle x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.}$$

 

则其第一顺序统计量（即最小值）为${\displaystyle x_{(1)}}$ ，第${\displaystyle n}$ 顺序统计量（即最大值）为${\displaystyle x_{(n)}}$ 。

概率

随机变量${\displaystyle X_{(k)}}$ 的累积分布函数${\displaystyle F_{k}(x)}$ 由下式给出^[1]

$${\displaystyle F_{k}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,}$$

 

将累积分布函数求导可得其概率密度函数${\displaystyle f_{k}(x)}$ 为

$${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .}$$

 

連續均勻樣本

從单位区间上的連續型均勻分布取得的樣本，其各順序統計量的边缘分布屬於Β分布族。此外，任意幾個順序統計量的联合分布也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴累积分布函数（cdf），該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中，${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ 表示以${\displaystyle F_{X}}$ 為cdf的一組隨機樣本。記${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$ ，則${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ 是從標準連續均勻分布抽取的對應樣本。由${\displaystyle F_{X}}$ 的單調性，後者的順序統計量為${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$ 。

順序統計量${\displaystyle U_{(k)}}$ 的概率密度函數（pdf）等於^[2]

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.}$ 

換言之，均勻分佈的第${\displaystyle k}$ 順序統計量遵循Β分布^[2][3]

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$ 

證明如下：欲使${\displaystyle U_{(k)}}$ 介乎${\displaystyle u}$ 與${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$ 之間，樣本須恰有${\displaystyle k-1}$ 個元素小於${\displaystyle u}$ ，並至少有一個介乎${\displaystyle u}$ 與${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$ 之間。該區間包含多於一個元素的概率已是${\displaystyle O(\mathrm {d} u^{2})}$ （使用了大O符號），故衹需計算${\displaystyle (0,u)}$ 、${\displaystyle (u,u+du)}$ 、${\displaystyle (u+du,1)}$ 三區間分別恰有${\displaystyle k-1}$ 、${\displaystyle 1}$ 、${\displaystyle n-k}$ 個元素的概率。此即三項分佈（英语：multinomial distribution）概率

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},}$ 

故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為${\displaystyle k/(n+1)}$ 。

参考文献

1. Order Statistics. www.math.uah.edu. [2016-07-28]. （原始内容于2017-08-13）. 
2. Gentle, James E. Computational Statistics. Springer. 2009: 63. ISBN 9780387981444 （英语）. 
3. Jones, M. C. Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages. Statistical Methodology. 2009, 6 (1): 70–81. doi:10.1016/j.stamet.2008.04.001. As is well known, the beta distribution is the distribution of the m’th order statistic from a random sample of size n from the uniform distribution (on (0,1)).