双重梅森数

双重梅森数（英語：double Mersenne number）是指可以用以下形式表示的梅森數：

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$

其中n為正整數。

双重梅森数的數列如下

${\displaystyle M_{M_{1}}=M_{1}=1}$

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{4}}=M_{15}=32767}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$ （OEIS數列A077585）

双重梅森数的2倍加3是費馬數。

雙重梅森質數

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為雙重梅森質數。由於梅森數M_p為質數的必要條件是p為質數，因此雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{p}}}$ 為質數的必要條件是$M_{p}$ 為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下^[1]：

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$ 

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$ 

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$ 

$M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$  （OEIS數列A077586）.

頭幾個使M_p為質數的p值為p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS數列A000043）。在p為2, 3, 5, 7時，${\displaystyle M_{M_{p}}}$ 為質數，但在p = 13, 17, 19及31時，${\displaystyle M_{M_{p}}}$ 不是質數，下一個雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{61}}}$ 還不確定是否是質數，其數值為2^{2305843009213693951} − 1，大約是1.695×10^{694127911065419641}，目前已知的素性测试無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10³³的整數中，沒有${\displaystyle M_{M_{61}}}$ 的質因數。^[2]可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。^[1][3]。

和大眾娛樂的關係

在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{7}}}$ 出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

相關條目

• 完全數
• 費馬數
• 韋伊費列治素數
• 雙重指數

參考資料

1. Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Prime Pages.
2. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(2⁶¹−1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.
3. I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 （页面存档备份，存于互联网档案馆） [retrieved 2012-10-19]

延伸閱讀

• Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919] .

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Double Mersenne Number. MathWorld. 
• Tony Forbes, A search for a factor of MM61（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Double Mersennes Prime Search（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Operazione Doppi Mersennes（页面存档备份，存于互联网档案馆）